O Teorema de Bayes é unha ferramenta poderosa para calcular probabilidades condicionadas. É especialmente útil cando queremos invertir a condición nunha probabilidade coñecida.
Consideramos un experimento composto no que na fase inicial poden acontecer un conxunto de sucesos disxuntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) que forman unha partición do espazo mostral. Consideramos outro suceso B, da fase final do experimento, para o que coñecemos as probabilidades \( P(B|A_i) \)
O teorema dinos que:
\[ P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i) }{P(B)} \]
onde \( P(B) >0 \).
- \( P(B) \) pódese calcular usando o teorema da probabilidade total.
- As probabilidades \( P(A_i|B)\) chámanse probabilidades a posteriori.
- As probabilidades \(P(A_i)\) chámanse probabilidades a priori.
- Exemplo 1
-
Temos 3 urnas, \( U_1, U_2\) e \(U_3 \), con 10 bolas cada unha entre brancas e negras. O número de bolas brancas que teñen son 3, 5 e 4, respectivamente. Se sacamos unha bóla e é branca, cal é a probabilidade de que esa bóla veña da urna \( U_2 \)?
Aplicamos Bayes, calculando \( P(B) \) polo teorema da probabilidade total:
\[ P(U_2|B) = \frac{P(U_2) \cdot P(B|U_2)}{P(B)} = \frac{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} \right)} \]
Simplificando a expresión obtemos o resultado desexado:
\[ P(U_2|B) =\dfrac{5}{12}\]
- Exemplo 2
-
Nun colexio hai tres clases de último ano, \( C_1, C_2\) e \(C_3 \). O número de estudantes en cada clase é 30, 25 e 20 respectivamente. Sábese que as probabilidades de que un estudante de cada clase estea matriculado en informática son:
\( P(I/C_1) = 0.5 \)
\( P(I/C_2) = 0.4 \)
\( P(I/C_3) = 0.3 \)Seleccionamos aleatoriamente un estudante do colexio, e sabemos que o estudante está matriculado en informática, \( I \). Queremos calcular a probabilidade de que este estudante pertenza á clase \( C_2 \).
Calculamos \( P(I) \) co teorema da probabilidade total e aplicamos o Teorema de Bayes para calcular \( P(C_2|I) \):
\[ P(C_2|I) = \frac{P(C_2) \cdot P(I|C_2)}{P(I)} \] \[ P(C_2|I) = \frac{\dfrac{25}{75} \cdot 0.4}{\dfrac{31}{75}} \] \[ P(C_2|I) = \dfrac{25 \cdot 0.4}{31} \] \[ P(C_2|I) = \dfrac{10}{31} \]
Así, a probabilidade de que o estudante pertenza á clase \( C_2 \) dado que está matriculado en informática é \( \dfrac{10}{31} \).
- Thomas Bayes foi un matemático inglés do século XVIII coñecido por establecer o teorema que leva o seu nome, o Teorema de Bayes. Nado en 1701 en Londres, Bayes desenvolveu un interese pola probabilidade e a lóxica inductiva, que serían fundamentais para o seu traballo posterior.
- A súa obra máis famosa, "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances", foi publicada de forma póstuma en 1763 polo filósofo e amigo de Bayes, Richard Price. Este traballo contiña o que agora coñecemos como Teorema de Bayes.
- O Teorema de Bayes converteuse nunha ferramenta crucial na estatística moderna, permitindo a análise de incertezas en diversos campos como a medicina, a ciencia da computación e a toma de decisións en finanzas e negocios.
Unha partición do espazo mostral divídeo en rexións ou subconxuntos disjuntos que, xuntos, forman o conxunto completo de resultados posibles.