Teorema de Bayes | Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Thomas Bayes

O Teorema de Bayes é unha ferramenta poderosa para calcular probabilidades condicionadas. É especialmente útil cando queremos invertir a condición nunha probabilidade coñecida.

Consideramos un experimento composto no que na fase inicial poden acontecer un conxunto de sucesos disxuntos $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ que forman unha partición do espazo mostral. Consideramos outro suceso B, da fase final do experimento, para o que coñecemos as probabilidades $P (B | A_{i})$

O teorema dinos que:

$P (A_{i} | B) = \frac{P (B | A_{i}) \cdot P (A_{i})}{P (B)}$

onde $P (B) > 0$ .

$P (B)$ pódese calcular usando o teorema da probabilidade total.
As probabilidades $P (A_{i} | B)$ chámanse probabilidades a posteriori.
As probabilidades $P (A_{i})$ chámanse probabilidades a priori.

+ Exemplo 1

Temos 3 urnas, $U_{1}, U_{2}$ e $U_{3}$ , con 10 bolas cada unha entre brancas e negras. O número de bolas brancas que teñen son 3, 5 e 4, respectivamente. Se sacamos unha bóla e é branca, cal é a probabilidade de que esa bóla veña da urna $U_{2}$ ?

Aplicamos Bayes, calculando $P (B)$ polo teorema da probabilidade total:

$P (U_{2} | B) = \frac{P (U_{2}) \cdot P (B | U_{2})}{P (B)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} (\frac{3}{10} + \frac{1}{2} + \frac{2}{5})}$

Simplificando a expresión obtemos o resultado desexado:

$P (U_{2} | B) = \frac{5}{12}$

+ Exemplo 2

Nun colexio hai tres clases de último ano, $C_{1}, C_{2}$ e $C_{3}$ . O número de estudantes en cada clase é 30, 25 e 20 respectivamente. Sábese que as probabilidades de que un estudante de cada clase estea matriculado en informática son:

$P (I / C_{1}) = 0.5$
$P (I / C_{2}) = 0.4$
$P (I / C_{3}) = 0.3$

Seleccionamos aleatoriamente un estudante do colexio, e sabemos que o estudante está matriculado en informática, $I$ . Queremos calcular a probabilidade de que este estudante pertenza á clase $C_{2}$ .

Calculamos $P (I)$ co teorema da probabilidade total e aplicamos o Teorema de Bayes para calcular $P (C_{2} | I)$ :

$P (C_{2} | I) = \frac{P (C_{2}) \cdot P (I | C_{2})}{P (I)}$ $P (C_{2} | I) = \frac{\frac{25}{75} \cdot 0.4}{\frac{31}{75}}$ $P (C_{2} | I) = \frac{25 \cdot 0.4}{31}$ $P (C_{2} | I) = \frac{10}{31}$

Así, a probabilidade de que o estudante pertenza á clase $C_{2}$ dado que está matriculado en informática é $\frac{10}{31}$ .

Thomas Bayes foi un matemático inglés do século XVIII coñecido por establecer o teorema que leva o seu nome, o Teorema de Bayes. Nado en 1701 en Londres, Bayes desenvolveu un interese pola probabilidade e a lóxica inductiva, que serían fundamentais para o seu traballo posterior.
A súa obra máis famosa, "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances", foi publicada de forma póstuma en 1763 polo filósofo e amigo de Bayes, Richard Price. Este traballo contiña o que agora coñecemos como Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes converteuse nunha ferramenta crucial na estatística moderna, permitindo a análise de incertezas en diversos campos como a medicina, a ciencia da computación e a toma de decisións en finanzas e negocios.