Trátase dunha permutación de 4 elementos, xa que úsanse todos as letras (elementos) e polo tanto o que diferencia un ordenamento doutro é a orde.

O número de ordenacións posibles é:

$$P_4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Agora nos atopamos cunha palabra de 5 letras, pero unha das letras repítese 2 veces. Estamos ante unha permutación con repetición de cinco elementos, onde un deles repítese 2 veces. 

Para calcular as permutacións con repetición de 5 elementos onde algúns elementos se repiten, utilizamos a fórmula xeral:

$$p_{n}^{k_1, k_2, \ldots, k_r} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_r!}$$

Neste caso, $n$ é o número total de letras, e $k_1, k_2, \ldots, k_r$ son as frecuencias das letras repetidas. Así, a fórmula específica para a palabra "TERRA" sería:

$$p_{5}^{1, 1, 2, 1} = \frac{5!}{1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1!}$$

Calculamos a solución:

$$p_{5}^{1, 1, 2, 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$$

Polo tanto, hai 60 formas únicas de ordenar as letras da palabra "TERRA".

Para resolver o problema de cantas maneiras diferentes se poden elixir os libros para a vitrina, usamos a fórmula de combinacións sen repetición:

$$C_{12, 5} = \frac{12!}{5!(12-5)!}$$

$$C_{12, 5} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$$

Así, hai 792 maneiras diferentes de elixir os libros para a vitrina.

Para este problema, utilizamos combinacións con repetición, xa que os sabores poden repetirse e a orde non importa.

A fórmula para as combinacións con repetición é:

$$CR_{n, r} = C_{n+r-1, r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$$

Onde:

$n$ é o número total de elementos (sabores de xeado).
$r$ é o número de elementos a escoller (bólas de xeado).
Neste caso, $n = 5$ e $r = 3$.

$$CR_{5, 3} = C_{5+3-1, 3} = C_{7, 3} = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

Polo tanto, o cliente pode elixir o seu paquete de xeado de 35 maneiras diferentes.