Probabilidade condicionada

A probabilidade condicionada é un concepto fundamental na teoría da probabilidade que nos permite calcular a probabilidade dun suceso, sabendo que ocorreu outro suceso relacionado. Este tipo de probabilidade é crucial cando os sucesos non son independentes e o resultado dun afecta a probabilidade do outro.

A probabilidade condicionada dun suceso $B$ sabendo que ocorreu un suceso $A$ denótase por $P(B|A)$ e calcúlase utilizando a seguinte fórmula:

$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

onde $P(A)>0$.

Nesta fórmula, $P(B\cap A)$ é a probabilidade de que ocorran ambos sucesos $A$ e $B$ ao mesmo tempo, e $P(A)$ é a probabilidade de que ocorra o suceso $A$.

A interpretación da probabilidade condicionada é que proporciona a probabilidade de que ocorra o suceso $B$ nos casos nos que sabemos con certeza que o suceso $A$ xa ocorreu.

+ Exemplo 1

Temos unha baralla de 40 cartas e queremos calcular a probabilidade de sacar unha carta de espadas sabendo que a carta sacada é unha figura (Rei, Cabalo ou Sota).

Hai 12 figuras na baralla, e 3 delas son de espadas.

 $$P(\text{Espadas}|\text{Figura})=\frac{P(\text{Espadas}\cap \text{Figura})}{P(\text{Figura})}=\frac{3/40}{12/40}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

+ Exemplo 2

Supoñamos que lanzamos dous dados e queremos saber a probabilidade de que o segundo dado mostre un "5" sabendo que a suma dos dous dados é maior que "7".

A probabilidade de que o segundo dado sexa un "5" é ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, pero esta probabilidade cambia cando consideramos só os lanzamentos nos que a suma é maior que "7".

A probabilidade de que a suma sexa maior que "7" e o segundo dado sexa un "5" é ${\displaystyle \frac{4}{36}}$, porque os pares posibles son (3,5), (4,5), (5,5), e (6,5).

A probabilidade de que a suma sexa maior que "7" é ${\displaystyle \frac{21}{36}}$, xa que hai 21 combinacións posibles que dan unha suma de "8" ou máis.

Entón, a probabilidade condicionada sería:

$$P(\text{5 no segundo dado}|\text{suma}>7)=\frac{4/36}{21/36}=\frac{4}{21}$$