A probabilidade condicionada é un concepto fundamental na teoría da probabilidade que nos permite calcular a probabilidade dun suceso, sabendo que ocorreu outro suceso relacionado. Este tipo de probabilidade é crucial cando os sucesos non son independentes e o resultado dun afecta a probabilidade do outro.
A probabilidade condicionada dun suceso \( B \) sabendo que ocorreu un suceso \( A \) denótase por \( P(B|A) \) e calcúlase utilizando a seguinte fórmula:
\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]
onde \( P(A) > 0 \).
Nesta fórmula, \( P(B \cap A) \) é a probabilidade de que ocorran ambos sucesos \( A \) e \( B \) ao mesmo tempo, e \( P(A) \) é a probabilidade de que ocorra o suceso \( A \).
A interpretación da probabilidade condicionada é que proporciona a probabilidade de que ocorra o suceso \( B \) nos casos nos que sabemos con certeza que o suceso \( A \) xa ocorreu.
- Exemplo 1
-
Temos unha baralla de 40 cartas e queremos calcular a probabilidade de sacar unha carta de espadas sabendo que a carta sacada é unha figura (Rei, Cabalo ou Sota).
Hai 12 figuras na baralla, e 3 delas son de espadas.
\[ P(\text{Espadas}|\text{Figura}) = \frac{P(\text{Espadas} \cap \text{Figura})}{P(\text{Figura})} = \frac{3/40}{12/40} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
- Exemplo 2
-
Supoñamos que lanzamos dous dados e queremos saber a probabilidade de que o segundo dado mostre un "5" sabendo que a suma dos dous dados é maior que "7".
A probabilidade de que o segundo dado sexa un "5" é \(\dfrac {1}{6}\), pero esta probabilidade cambia cando consideramos só os lanzamentos nos que a suma é maior que "7".
A probabilidade de que a suma sexa maior que "7" e o segundo dado sexa un "5" é \(\dfrac {4}{36}\), porque os pares posibles son (3,5), (4,5), (5,5), e (6,5).
A probabilidade de que a suma sexa maior que "7" é \(\dfrac {21}{36}\), xa que hai 21 combinacións posibles que dan unha suma de "8" ou máis.
Entón, a probabilidade condicionada sería:
\[ P(\text{5 no segundo dado}|\text{suma} > 7) = \frac{4/36}{21/36} = \frac{4}{21} \]