Elaboramos un táboa onde a segunda e a terceira columna correpóndense coa función de probabilidade e de distribución, respectivamente.

A función de distribución pódese expresar tamén como unha función definida a anacos:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<0\\ 0.05& \text{se }0\le x<1\\ 0.15& \text{se }1\le x<2\\ 0.35& \text{se }2\le x<3\\ 0.65& \text{se }3\le x<4\\ 0.85& \text{se }4\le x<5\\ 0.95& \text{se }5\le x<6\\ 1& \text{se }6\le x\end{array}$$

• Media:

$\mu =0·0.05+1·0.10+2·0.20+3·0.30+4·0.20+5·0.10+6·0.05=3$

O número medio de goles que marca en cada partido é de 3 goles

• Varianza: 

${\sigma }^2=(0-3{)}^2·0.05+(1-3{)}^2·0.10+(2-3{)}^2·0.20+(3-3{)}^2·0.30+(4-3{)}^2·0.20+(5-3{)}^2·0.10+(6-3{)}^2·0.05=2$

Comprobamos se a suma das probabilidades é 1.

$$P(X=x_i)=0.1+0.2+0.3+0.25+0.1+0.05=1$$

Trátase, polo tanto, dunha función de probabilidade.

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<0\\ P(X=0)& \text{se }0\le x<1\\ P(X=0)+P(X=1)& \text{se }1\le x<2\\ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)& \text{se }2\le x<3\\ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)& \text{se }3\le x<4\\ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)& \text{se }4\le x<5\\ 1& \text{se }5\le x\end{array}$$

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<0\\ 0.1& \text{se }0\le x<1\\ 0.1+0.2& \text{se }1\le x<2\\ 0.1+0.2+0.3& \text{se }2\le x<3\\ 0.1+0.2+0.3+0.25& \text{se }3\le x<4\\ 0.1+0.2+0.3+0.25+0.1& \text{se }4\le x<5\\ 1& \text{se }5\le x\end{array}$$

A función de distribución é:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<0\\ 0.1& \text{se }0\le x<1\\ 0.3& \text{se }1\le x<2\\ 0.6& \text{se }2\le x<3\\ 0.85& \text{se }3\le x<4\\ 0.95& \text{se }4\le x<5\\ 1& \text{se }5\le x\end{array}$$

• Media:

$$\mu =\sum x_{i}P(x_i)$$ $$\mu =0\cdot 0.1+1\cdot 0.2+2\cdot 0.3+3\cdot 0.25+4\cdot 0.1+5\cdot 0.05=2$$

• Varianza:

$${\sigma }^2=\sum (x_i-\mu {)}^{2}P(x_i)$$ $${\sigma }^2=(0-2{)}^2\cdot 0.1+(1-2{)}^2\cdot 0.2+(2-2{)}^2\cdot 0.3+(3-2{)}^2\cdot 0.25+(4-2{)}^2\cdot 0.1+(5-2{)}^2\cdot 0.05=2$$

• Desviación típica:

A desviación típica é simplemente a raíz cadrada da varianza:

$$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=1.41$$

Polo tanto, a desviación típica desta variable aleatoria discreta X é de 1.41.

Isto significa que os valores observados de número de peixes pescados difiren como media 1.41 unidades respecto da media de 2 peixes.

Para que sexa función de densidade,

1. $f(x)\le 0$ para todo valor x

Efectivamente, a función $\frac{x^2}{4}$ só toma valores positivos ou cero co que se cumpre a condición.

2. A integral no rango debe ser 1:

$${\int }_0^2\frac{x}{2}dx={\left[\frac{x^2}{4}\right]}_0^2=1$$

Como cumpre as dúas condicións, f(x) é unha función de densidade.

$${\int }_{0.5}^1\frac{x}{2}dx={\left[\frac{x^2}{4}\right]}_{0.5}^1=\frac{3}{16}$$

• A media ou esperanza é:

$$\mu ={\int }_0^{2}xf(x)dx={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x}{2}dx=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

• A varianza é:

  $${\sigma }^2={\int }_0^2(x-\mu {)}^{2}f(x)dx={\int }_0^2{(x-\frac{4}{3})}^2\cdot \frac{x}{2}dx=\frac{2}{9}$$

a. O número de pezas defectuosas segue unha distribución binomial de parámetros n = 5 (número de máquinas) e p = 0.1 (probabilidade de peza defectuosa en cada máquina).

Chamando $X$ á variable que conta o número de pezas defectuosas, temos:

$$X\in B(5,0.1)$$

b.

• A media é $$\mu =np=5\cdot 0.1=0.5$$

O número medio de pezas defectuosas é 0.5

• A varianza é $${\sigma }^2=np(1-p)=5\cdot 0.1\cdot 0.9=0.45$$

1. P(Z ≤ 1.03) = 0.8485
2. P(Z ≤ -1.03) = 0.1515
3. P(Z ≤ 4) = 1
4. P(Z ≤ −4) = 0

1. P(Z > 2.1) = 1 − P(Z ≤ 2.1) = 1 − 0.9821 = 0.0179
2. P(Z ≥ −2.1) = P(Z ≤ 2.1) = 0.9821
3. P(Z ≥ −5.1) = P(Z ≤ 5.1) = 1
4. P(Z > 5.1) = 1 − P(Z ≤ 5.1) = 1 − 1 = 0

1. P(1 ≤ Z ≤ 2) = P(Z ≤ 2) − P(Z < 1) = 0.9772 − 0.8413 = 0.1359
2. P(−0.5 ≤ Z ≤ 1.5) = P(Z ≤ 1.5) − P(Z < −0.5) = P(Z ≤ 1.5) − [1- P(Z < 0.5)] = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417
3. P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 2P(Z ≤ 1.96) − 1 = 1.95 - 1 = 0.95
4. P(−2.58 ≤ Z ≤ −0.25) = P(0.25 ≤ Z ≤ 2.58) = P(Z ≤ 2.58) − P(Z < 0.25) = 0.9951 - 0.5987 = 0.3964

1.  $P(X<166)=P(Z<\frac{166-170}{6})=P(Z<-0.67)=0.2517$
   
   
2. $P(X\ge 178)=1-P(Z<\frac{178-170}{6})=1-P(Z<1.33)=1-0.9082=0.0918$
   
   
3. $P(160\le X\le 190)=P(Z\le \frac{190-170}{6})-P(Z\le \frac{160-170}{6})=$
   $=P(Z\le 3.33)-P(Z\le -1.67)=0.9995-0.0474=0.9521$
   
   
4. $P(X=175)=0$

1. $P(X>3.9)=1-P(Z<\frac{3.9-3.2}{0.3})=1-P(Z<2.33)=1-0.9896=0.0104$
   
   
2. $P(2.6\le X\le 3.5)=P(Z\le \frac{3.5-3.2}{0.3})-P(Z\le \frac{2.6-3.2}{0.3})=0.9987-0.2159=0.7828$

Calcular $Percenti{l}_{90}$ supón calcular o valor que acumula á súa esquerda o 90% dos datos, é dicir, temos que achar x tal que $P(X\le x)=0.9$:

$$P(X\le x)=0.9\Rightarrow P(Z\le \frac{x-3.2}{0.3})=0.9$$

Buscando nas táboas da N(0,1) obtemos $P(Z\le 1.28)=0.8997$, que é o valor que queda máis preto do 0.9. Isto quere dicir que:

$$1.28=\frac{x-3.2}{0.3}\Rightarrow x=1.28\cdot 0.3+3.2=3.584$$

Polo que o valor pedido é aproximadamente 3.6 kg 

 $P(2.5\le X\le 4)=P(X\le 4)-P(X\le 2.5)=0.9938-0$

1. $Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-7}{2}}$
   $P(X>9)=P(Z>\frac{9-7}{2})=P(Z>1)=1-0.8413=0.1587$
   
   
2. $P(X\le 4)=P(Z\le \frac{4-7}{2})=P(Z\le -1.5)=0.0668$

$Percenti{l}_{70\mathrm{\%}}\Rightarrow X=Z_{70\mathrm{\%}}\cdot \sigma +\mu =0.5244\cdot 2+7=8.5$

$Percenti{l}_{25\mathrm{\%}}\Rightarrow X=Z_{25\mathrm{\%}}\cdot \sigma +\mu =-0.6745\cdot 2+7=5$

$X_{99\mathrm{\%}}=Z_{99\mathrm{\%}}\cdot \sigma +\mu =2.33\cdot 100+2500=2733$

$X_{5\mathrm{\%}}=Z_{5\mathrm{\%}}\cdot \sigma +\mu =-1.645\cdot 100+2500=2336$

$X_{80\mathrm{\%}}=Z_{80\mathrm{\%}}\cdot \sigma +\mu =0.84\cdot 100+2500=2584$

$X_{95\mathrm{\%}}=Z_{95\mathrm{\%}}\cdot \sigma +\mu =1.645\cdot 100+2500=2665$

$X_{50\mathrm{\%}}=\mu =2500$

Calculamos os prámetros da normal:

$$np=20\cdot 0.3=6;\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{6\cdot 0.7}=1.7321$$

a. $P(X\le 5)\approx P(Z\le \frac{5-0.5-6}{1.7321})=P(Z\le -0.6744)=0.2501$

b. $P(X\ge 10)\approx P(Z\ge \frac{10+0.5-6}{1.7321})=P(Z\ge 2.3629)=0.0092$

Comprobamos se podemos aproximar pola normal:

$n=600>30$

$n\cdot p=600\cdot 0.01=6>5$

$n\cdot q=600\cdot 0.99=594>5$

Como se cumpren as condicións, calculamos a media e a desviación típica:

$$np=600\cdot 0.01=6;\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{6\cdot 0.99}=2.44$$

Entón: $$X\in B(600,0.01)\Rightarrow X\approx X´\in N(6,2.44)$$

a. $$P(5\le X\le 15)\approx P(5-0.5\le X´\le 15+0.5)=P(\frac{4.5-6}{2.44}\le Z\le \frac{15.5-6}{2.44})$$ $$=P(-0.61\le Z\le 3.89)$$ $$=0.99995-(1-0.7291)=0.72905$$

b. $$X_{90\mathrm{\%}}=[Z_{90\mathrm{\%}}\cdot \sigma +np]-0.5=[(1.645)\cdot 2.44+6]-0.5=9.51$$