Función de densidade

A función de densidade, f(x), describe como se distribúe a probabilidade ao longo do rango de valores da variable. $$f(x):R⟶[0,\mathrm{\infty })$$ A función de densidade toma un número infinito de valores reais dentro dun intervalo de forma continua. Ao contrario das variables discretas, as variables continuas poden tomar calquera valor nun rango, non só valores específicos.

Propiedades:

1. f(x) ≥ 0 para todo valor de x
2. A integral de f(x) entre os límites do rango é igual a 1: $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)dt=1$$

+ Exemplo 1

Supoñamos que monitorizamos a velocidade do vento (en km/h) nunha zona costeira durante un longo período de tempo. Tras analizar os datos recollidos creamos un modelo probabilístico da velocidade do vento baseado na función:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}k(x+1)e^{-x}& \text{se }x\ge 0\\ 0& \text{se }x<0\end{array}$$

Calcula a constante k para que f(x) sexa unha función de distribución.

Solución

Primeiro, imos calcular a integral:

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}k(x+1)e^{-x}dx$$

Resolvendo a integral obtemos:

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=2k$$

Polo tanto, para garantir que esta integral sexa 1, é preciso que:

$$k={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

Así que a función de densidade final é:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1)e^{-x}& \text{se }x\ge 0\\ 0& \text{se }x<0\end{array}$$

Esta función cumpre as propiedades de non-negatividade e integral 1 necesarias para representar unha densidade de probabilidade.

Agora xa poderiamos utilizala para calcular probabilidades sobre a velocidade do vento na nosa zona de estudo.

+ Exemplo 2

Supoñamos que queremos modelar a temperatura media anual (en °C) nunha cidade. Tras analizar rexistros históricos, propoñemos a seguinte función de densidade definida no intervalo pechado entre 5°C e 35°C:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}k(x-5)(35-x)& \text{se }5\le x\le 35\\ 0& \text{en outro caso}\end{array}$$

onde k é un factor de normalización que garantirá que a integral de f(x) entre 5 e 35 sexa 1.

Vamos calcular esa integral:

$${\int }_5^{35}f(x)dx={\int }_5^{35}k(x-5)(35-x)dx$$

Resolvendo a integral obtemos:

$${\int }_5^{35}f(x)dx=k\cdot 4470$$

Para que esta integral sexa 1, é preciso que:

$$k=\frac{1}{4470}$$

Polo tanto, a función de densidade normalizada é:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4470}(x-5)(35-x)& \text{se }5\le x\le 35\\ 0& \text{en outro caso}\end{array}$$

Xa poderiamos utilizar esta función para calcular probabilidades sobre a temperatura anual na nosa cidade de estudo.