Distribución de probabilidade Binomial

Moitos experimentos comparten o elemento común de que os seus resultados poden clasificarse nun de dous sucesos,  por exemplo, unha moeda pode saír cara ou cruz; unha persoa pode estar empregada ou desempregada. Estes resultados adoitan etiquetarse como "éxito" ou "fracaso". 

A distribución binomial utilízase para representar o número de éxitos nunha secuencia de n probas independentes, onde cada proba ten unha probabilidade fixa de éxito p.

• Características dos experimentos que seguen unha distribución binomial:
  • O experimento ten n fases e en cada fase só consideramos a posibilidade de éxito ou fracaso.
  • A obtención de éxito ou fracaso en cada fase é independente da obtención de éxito ou fracaso nas demais fases, sendo $p$ a probabilidade de éxito e $q$ a probabilidade de fracaso $(q=1-p)$.
  • A probabilidade de obter éxito ou fracaso sempre é a mesma en cada fase.
  • A distribución binomial adóitase representar por $B(n,p)$, sendo $n$ o número de fases que ten o experimento e $p$ a probabilidade de éxito.
    
    
• A función de probabilidade da distribución binomial é: $$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$

onde $k$ é o número de éxitos, $n$ o número de probas e $p$ a probabilidade de éxito nunha proba.

+ Exemplo

Se lanzamos 3 veces un dado trucado, onde a probabilidade de sacar un 6 é 0.3 en cada lanzamento. Cal é a probabilidade de sacar dous seis?

Neste caso, pídesenos calcular a probabilidade P(X = 2) da distribución binomial con n = 3 e p = 0.3: $$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(0.3{)}^2(1-0.3)=3(0.09)(0.7)=0.189$$

• Parámetros
  • Media ou valor esperado, denotado por $\mu$, indícanos onde se concentra en promedio a distribución. Para a binomial, a media é:
    

    $$\mu =np$$

    É dicir, o número de probas multiplicado pola probabilidade de éxito en cada unha.

  • Varianza, denotada por ${\sigma }^2$, describe a dispersión da distribución con respecto á media. Para a binomial é:
    $${\sigma }^2=np(1-p)$$

A Desviación típica, denotada por $\sigma$, é a raíz cadrada da varianza:
$$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$$

+ Exemplo 1

Se lanzamos unha moeda 5 veces, cunha probabilidade 0.5 de cara en cada lanzamento. Esta é unha B(n = 5, p = 0.5). A súa media e desviación típica son:
$$\mu =np=5\cdot 0.5=2.5$$

$$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{5\cdot 0.5\cdot 0.5}=1$$

+ Exemplo 2

Se tiramos un dado viciado 20 veces, cunha probabilidade 0.7 de sacar un 6 en cada tirada. Isto é unha B(20, 0.7). A media e desviación típica son:
$$\mu =np=20\cdot 0.7=14$$

$$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{20\cdot 0.7\cdot 0.3}=2$$