Exemplos de distribucións discretas | Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Algúns exemplos de distribucións discretas comúns son:

Distribución Binomial o de Bernoulli

A distribución binomial, que se estuda con detalle máis adiante, modela o número de éxitos nunha secuencia fixa de n probas independentes, onde cada proba ten unha probabilidade de éxito de p.

A función de probabilidade binomial é:

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

onde p é a probabilidade de éxito nunha proba e n é o número total de probas.

+ Exemplo

Número de caras ao lanzar unha moeda 5 veces, con probabilidade 0.5 de cara en cada lanzamento.

Aplicamos a fórmula da binomial con n = 5, p = 0.5 e k = 3:

$P (X = 3) = (\binom{5}{3}) (0.5)^{3} (1 - 0.5)^{2}$

Operando:

$P (X = 3) = 10 \cdot (0.125) \cdot (0.25) = 0.3125$

Distribución Xeométrica

A distribución xeométrica modela o número de probas Bernoulli independentes necesarias para obter un éxito, cunha probabilidade fixa p en cada proba.

A función de probabilidade é:

$P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p$

onde p é a probabilidade de éxito en cada proba independente.

+ Exemplo

Consideremos un xogo que consiste en lanzar un dado de 6 caras repetidamente ata que saia un 6. O dado está viciado de tal forma que a probabilidade de obter un 6 en cada tirada é de 0.3, é dicir o 30% das tiradas dará como resultado un 6.

Queremos saber cal é a probabilidade de que teñamos que lanzar o dado exactamente 4 veces antes de obter finalmente o primeiro 6.

Este escenario encaixa coa distribución xeométrica, xa que estamos contando o número de probas de Bernoulli (os lanzamentos do dado viciado) necesarias antes de obter un éxito (saír un 6), cunha probabilidade fixa de éxito de 0.3 en cada proba.

Aplicamos entón a fórmula da distribución xeométrica, con p=0.3 como probabilidade de éxito nun lanzamento, e k=4 como o número de lanzamentos antes do éxito:

$P (X = 4) = (1 - p)^{k - 1} p$ $P (X = 4) = (1 - 0.3)^{4 - 1} 0.3$ $P (X = 4) = (0.7)^{3} 0.3$ $P (X = 4) = 0.0486$

Polo tanto, a probabilidade de conseguir finalmente un 6 no cuarto lanzamento do dado viciado é de 0.0486, ou o 4.86%.

Distribución de Poisson

A distribución de Poisson utilízase para contar o número de eventos aleatorios que ocorren nun determinado intervalo de tempo ou rexión do espazo.

A función de probabilidade de Poisson é:

$P (X = k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!}$

onde λ é o valor esperado.

+ Exemplo

Supoñamos unha fábrica que produce pezas metálicas cunha máquina de fundición. Debido ao desgaste dos compoñentes, a máquina sofre fallos e ten que deter a produción para facer reparacións.

Os enxeñeiros estimaron que o número medio de fallos da máquina por semana segue unha distribución de Poisson con valor esperado (media) de 2 fallos por semana.

Queremos calcular a probabilidade de que nunha semana determinada ocorran exactamente 3 fallos que obriguen a deter a produción.

Aplicamos a fórmula da Poisson con λ=2 e k=3:

$P (X = 3) = \frac{e^{- 2} \cdot 2^{3}}{3!} = \frac{2^{3}}{6} e^{- 2} \approx 0.2707$