Teorema da probabilidade total

O Teorema da Probabilidade Total permítenos calcular a probabilidade dun suceso, \( B \), tendo en conta un conxunto de sucesos disxuntos \( A_1, A_2, ..., A_n \) que forman unha partición do espazo mostral. A probabilidade de \( B \) calcúlase sumando as probabilidades de \( B \) dentro de cada un dos sucesos \( A_i \).

Matematicamente, exprésase como:

\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i) \]

onde \( P(B|A_i) \) é a probabilidade condicionada de \( B \) dado \( A_i \).

Exemplo 1

Imaxinemos que temos 3 urnas, \( U_1, U_2\) e \(U_3 \), con 10 bolas cada unha entre brancas e negras. O número de bolas brancas que teñen son 3, 5 e 4, respectivamente. A probabilidade de elixir unha urna é \(\dfrac{1}{3}\) para cada unha. Se queremos calcular a probabilidade de sacar unha bóla branca, \( B \), faremos o seguinte:

\( P(B|U_1) = \dfrac{3}{10} \)

\( P(B|U_2) = \dfrac{1}{2} \)

\( P(B|U_3) = \dfrac{2}{5} \)

Usando o teorema da probabilidade total:

\[ P(B) = P(U_1) \cdot P(B|U_1) + P(U_2) \cdot P(B|U_2) + P(U_3) \cdot P(B|U_3) \]

\[ P(B) = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{10} + \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \right) \]

\[ P(B) = \dfrac {1}{5}\]

Exemplo 2

Imaxina que temos un colexio con tres clases de último ano, \( C_1, C_2\) e \(C_3 \). O número de estudantes en cada clase é 30, 25 e 20 respectivamente. Seleccionamos aleatoriamente un estudante do colexio, e queremos calcular a probabilidade de que este estudante esté matriculado en informática, \( I \).
Supoñamos que as probabilidades de que un estudante de cada clase estea matriculado en informática son:

\( P(I|C_1) = 0.5 \)
\( P(I|C_2) = 0.4 \)
\( P(I|C_3) = 0.3 \)

A probabilidade de elixir un estudante de calquera clase é proporcional ao tamaño da clase:

\( P(C_1) = \dfrac{30}{75} \)

\( P(C_2) = \dfrac{25}{75} \)

\( P(C_3) = \dfrac{20}{75} \)

Aplicamos o teorema da probabilidade total para calcular \( P(I) \):

\[ P(I) = P(C_1) \cdot P(I|C_1) + P(C_2) \cdot P(I|C_2) + P(C_3) \cdot P(I|C_3) \]

\[ P(I) = \frac{30}{75} \cdot 0.5 + \frac{25}{75} \cdot 0.4 + \frac{20}{75} \cdot 0.3 \]

\[ P(I) = \frac{15}{75} + \frac{10}{75} + \frac{6}{75} \]

\[ P(I) = \frac{31}{75} \]