Teorema da probabilidade total

 

O Teorema da Probabilidade Total permítenos calcular a probabilidade dun suceso, B, tendo en conta un conxunto de sucesos disxuntos A1,A2,...,An que forman unha partición do espazo mostral. A probabilidade de B calcúlase sumando as probabilidades de B dentro de cada un dos sucesos Ai.

Matematicamente, exprésase como:

P(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai)

onde P(B|Ai) é a probabilidade condicionada de B dado Ai.

+ Exemplo 1

Imaxinemos que temos 3 urnas, U1,U2 e U3, con 10 bolas cada unha entre brancas e negras. O número de bolas brancas que teñen son 3, 5 e 4, respectivamente. A probabilidade de elixir unha urna é 13 para cada unha. Se queremos calcular a probabilidade de sacar unha bóla branca, B, faremos o seguinte:


P(B|U1)=310

P(B|U2)=12

P(B|U3)=25

Usando o teorema da probabilidade total:

P(B)=P(U1)P(B|U1)+P(U2)P(B|U2)+P(U3)P(B|U3)

P(B)=13(310+12+25)

P(B)=15

+ Exemplo 2

Imaxina que temos un colexio con tres clases de último ano, C1,C2 e C3. O número de estudantes en cada clase é 30, 25 e 20 respectivamente. Seleccionamos aleatoriamente un estudante do colexio, e queremos calcular a probabilidade de que este estudante esté matriculado en informática, I.
Supoñamos que as probabilidades de que un estudante de cada clase estea matriculado en informática son:

P(I|C1)=0.5
P(I|C2)=0.4
P(I|C3)=0.3

A probabilidade de elixir un estudante de calquera clase é proporcional ao tamaño da clase:

P(C1)=3075

P(C2)=2575

P(C3)=2075

Aplicamos o teorema da probabilidade total para calcular P(I):

P(I)=P(C1)P(I|C1)+P(C2)P(I|C2)+P(C3)P(I|C3)

P(I)=30750.5+25750.4+20750.3

P(I)=1575+1075+675

P(I)=3175

    Unha partición do espazo mostral divídeo en rexións ou subconxuntos disxuntos que, xuntos, forman o conxunto completo de resultados posibles.