A función de distribución, F(x), indica a probabilidade de que a variable aleatoria tome un valor menor ou igual a x. \[F(x) = P(X \le x)\]
Calcúlase a partir da función de densidade f(x) utilizando a seguinte integral:
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \]
Propiedades
A función de distribución dunha variable aleatoria continua ten varias propiedades importantes:
- 0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x
-
F(x) é crecente
-
Límites:
- \(\lim\limits_{x \to -∞}\) F(x) = 0
- \(\lim\limits_{x \to ∞}\) F(x) = 1
-
F(x) é continua.
-
Propiedades de probabilidade:
- P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
- P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
- P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
- P(a < X < b) = F(b) - F(a)
- P(X > a) = 1 - F(a)
- P(X < a) = F(a)
- Exemplo 1
-
Dada a funcion de densidade:
\[ f(x) = \frac{1}{5} \quad \text{para } 0 \leq x \leq 5 \]
Primeiro, verificamos que \( f(x) \) sexa unha función de densidade de probabilidade asegurándonos de que sexa non negativa para todo \( x \) e de que a área baixo da curva sexa igual a 1.
Logo, calculamos a función de distribución \( F(x) \), que nos dará a probabilidade de que \( X \) sexa menor ou igual ca un valor dado \( x \).
A función de distribución é:
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ \int_{0}^{x} \frac {1}{5} dx = \frac{1}{5}x & \text{se } 0 \leq x < 5 \\ 1 & \text{se } x \geq 5 \end{cases} \]
- Exemplo 2
-
Supoñamos que temos unha variable aleatoria continua \( X \) con función de densidade dada por:
\[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{3} & \text{se } 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{1}{6} & \text{se } 2 < x \leq 4 \\ 0 & \text{noutro caso} \end{cases} \]
Queremos calcular a súa función de distribución \( F(x) \).
Primeiro, verificamos que \( f(x) \) sexa unha función de densidade de probabilidade asegurándonos de que sexa non negativa para todo \( x \) e de que a área baixo da curva sexa igual a 1.
Logo, calculamos a función de distribución \( F(x) \), que nos dará a probabilidade de que \( X \) sexa menor ou igual ca un valor dado \( x \).
A función de distribución \( F(x) \) está dada por:
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ \int_{0}^{x} \frac {1}{3} dx =\frac{1}{3}x & \text{se } 0 \leq x < 2 \\ \int_{0}^{2} \frac {1}{3} dx+\int_{2}^{x} \frac {1}{6} dx = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}x - \frac{1}{3} & \text{se } 2 \leq x < 4 \\ 1 & \text{se } x \geq 4 \end{cases} \]