Regra do produto | Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Para Dous Sucesos

Cando temos dous sucesos, $A$ e $B$ , que non son independentes, a probabilidade de que ambos sucesos ocorran en secuencia, denotada por $P (A \cap B)$ , calcúlase tendo en conta que a probabilidade do segundo suceso pode variar dependendo de se ocorreu o primeiro suceso.

Esta probabilidade calcúlase utilizando a probabilidade condicionada:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)$

onde $P (B | A)$ é a probabilidade de que $B$ ocorra sabendo que $A$ xa ocorreu.

+ Exemplo

Supoñamos que queremos calcular a probabilidade de sacar un rei dunha baralla de cartas e, a continuación, sen volver a meter a carta na baralla, sacar unha sota. Estes sucesos non son independentes, xa que sacar un rei na primeira tirada afecta á probabilidade de sacar unha sota na segunda.

A probabilidade de sacar un rei é:

$P (A) = \frac{4}{40}$

Unha vez sacado o rei, quedan 39 cartas na baralla, incluíndo 4 sotas. Entón, a probabilidade de sacar unha sota despois de ter sacado un rei é:

$P (B | A) = \frac{4}{39}$

A probabilidade de sacar un rei e logo unha sota en secuencia é:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A) = \frac{4}{40} \cdot \frac{4}{39} = \frac{16}{1560} = \frac{2}{159}$

Para Múltiples Sucesos

Se temos múltiples sucesos non independientes, $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ , a probabilidade de que todos ocorran en secuencia é o produto das súas probabilidades condicionadas:

$P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2} | A_{1}) \cdot P (A_{3} | A_{1} \cap A_{2}) \cdot \dots \cdot P (A_{n} | A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n - 1})$

+ Exemplo

Consideremos que queremos calcular a probabilidade de sacar tres cartas específicas en secuencia dunha baralla de 40 cartas, sen reposición, onde cada elección sucesiva non é independente da anterior.

$P (A_{1}) = \frac{1}{40}$ $P (A_{2} | A_{1}) = \frac{1}{39}$ $P (A_{3} | A_{1} \cap A_{2}) = \frac{1}{38}$

Entón, a probabilidade de que ocorran os tres sucesos en secuencia é:

$P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2} | A_{1}) \cdot P (A_{3} | A_{1} \cap A_{2}) = \frac{1}{40} \cdot \frac{1}{39} \cdot \frac{1}{38}$