Actividades resoltas

Actividade 1: sucesos

Ocultar

Nunha bolsa hai 10 bólas numeradas do 1 ao 10. Realízase un experimento aleatorio no que se sacará unha bóla da bolsa sen mirar. Describir os seguintes tipos de sucesos e proporcionar exemplos concretos de cada un baseándose neste experimento:

  1. Suceso seguro
  2. Suceso imposible
  3. Suceso aleatorio simple
  4. Suceso composto

Solución

  1. Suceso seguro: É aquel que ocorrerá si ou si cando se realice o experimento. Neste caso, un suceso seguro sería "sacar unha bóla que teña un número entre 1 e 10", xa que todas as bólas na bolsa están dentro deste rango.

  2. Suceso imposible: É aquel que non pode ocorrer baixo ningunha circunstancia no contexto do experimento. Un exemplo sería "sacar unha bóla que teña o número 11", posto que non hai ningunha bóla na bolsa que teña ese número.

  3. Suceso aleatorio simple: É un suceso que consiste nun só resultado posible. Por exemplo, "sacar a bóla número 5" sería un suceso simple, xa que só hai unha forma de que ese suceso ocorra.

  4. Suceso composto: É un suceso que inclúe dous ou máis sucesos simples. Un exemplo sería "sacar unha bóla con un número par". Este suceso está composto polos sucesos simples de sacar a bóla número 2, 4, 6, 8 ou 10.

Resumindo, neste experimento aleatorio, os sucesos seguros e imposibles son claros, xa que dependen do contido da bolsa. Os sucesos simples e compostos dependen das características das bólas que podes sacar, e hai moitas posibilidades para os sucesos compostos dependendo de que grupo ou características decides enfocar (por exemplo, números pares, números impares, números primos, etc.).

Actividade 2: operacións con sucesos

Ocultar

Temos unha baralla española que consta de 40 cartas, divididas en catro paus: ouros, copas, espadas e bastos. Cada pau ten 10 cartas numeradas do 1 ao 7 e tres figuras: sota, cabalo e rei. Sacamos unha carta ao chou da baralla e definimos os sucesos seguintes:

  • Suceso A: Sacar unha figura (sota, cabalo ou rei).
  • Suceso B: Sacar unha carta de ouros.

Realiza as seguintes operacións con estes sucesos e describe o resultado:

a) A unión de A e B (A ∪ B)

Solución

A unión de A e B (A ∪ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a polo menos un dos sucesos A ou B?

  • Se sacamos unha carta que é unha figura ou é unha carta de ouros, teremos un suceso que pertence a A ∪ B. Isto inclúe todas as figuras (sota, cabalo e rei) de todos os paus e todas as cartas do pau de ouros, incluídas as súas figuras.
  • Se queremos contalas, entón, temos 3 figuras x 4 paus = 12 cartas como figuras e 10 cartas de ouros, das cales 3 xa foron contadas como figuras, polo que engadimos 7 cartas máis. Isto dá un total de 12 + 7 = 19 cartas posibles que cumpren esta condición.

b) A intersección de A e B (A ∩ B)

Solución

A intersección de A e B (A ∩ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a ambos sucesos A e B ao mesmo tempo?

Sacar unha carta que sexa simultaneamente unha figura e de ouros significa que estamos a buscar as figuras específicas do pau de ouros.

Hai 3 cartas que cumpren con esta condición: a sota de ouros, o cabalo de ouros e o rei de ouros.

c) O suceso complementario de A (A')

Solución

O suceso complementario de A (A'): Que sucesos ocorren cando non se saca unha figura?

  • O suceso complementario de sacar unha figura é sacar unha carta que non sexa figura, isto é, calquera número do 1 ao 7 en calquera dos paus.
  • Como hai 4 paus e 7 cartas numeradas en cada pau, entón temos 4 x 7 = 28 cartas que son o complementario de sacar unha figura.

d) A diferenza entre A e B (A - B)

Solución

A diferenza entre A e B (A - B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) ao suceso A pero non ao suceso B?

  • As cartas que pertencen ao suceso A pero non ao suceso B son as figuras que non son de ouros.
  • Como hai tres figuras en cada pau e catro paus, temos un total de 12 figuras. Se excluímos as tres figuras de ouros, quedamos con 12 - 3 = 9 figuras que non son de ouros. Entón, podes sacar a sota, o cabalo ou o rei de copas, espadas ou bastos.

e) A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B)

Solución

A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a A ou B, pero non a ambos ao mesmo tempo?

  • As cartas que pertencen a A ou a B, pero non a ambos, incluirían as figuras de copas, espadas e bastos (que non son de ouros) e as cartas numéricas de ouros (do 1 ao 7), xa que estas non son figuras.
  • Entón, temos as 9 figuras que non son de ouros, máis as 7 cartas numéricas de ouros, o que nos dá un total de 9 + 7 = 16 cartas posibles que cumpren esta condición

Actividade 3: probabilidade

Ocultar

Na "Feira do Libro de Vigo" hai tres casetas destacadas: caseta de Literatura Galega L, caseta de Poesía P e caseta de Novela Histórica H. Durante unha mañá, rexístranse as visitas dos asistentes á feira e obsérvase que:

  • O 50% dos asistentes visitan a caseta de Literatura Galega L.
  • O 30% dos asistentes visitan a caseta de Poesía P.
  • O 20% dos asistentes visitan a caseta de Novela Histórica H.
  • O 10% dos asistentes visitan tanto a caseta de Literatura Galega como a de Poesía LP.
  • O 5% dos asistentes visitan tanto a caseta de Literatura Galega como a de Novela Histórica LH.
  • O 3% dos asistentes visitan tanto a caseta de Poesía como a de Novela Histórica PH.
  • O 2% dos asistentes visitan as tres casetas LPH.

Se un asistente é escollido ao azar ao final da mañá, calcular a probabilidade en porcentaxe de que:

a) Visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía.

Solución

 A probabilidade de que un asistente visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía é a unión de L e P, LP:

 P(LP)=P(L)+P(P)P(LP) P(LP)=0.50+0.300.10=0.70

Entón, a probabilidade de que un asistente visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía é do 70%.

b) Visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica.

Solución

A probabilidade de que un asistente visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica é a diferenza entre P e H, PH:

 P(PH)=P(P)P(PH) P(PH)=0.300.03=0.27

Así, a probabilidade de que un asistente visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica é do 27%.

c) Non visite ningunha das tres casetas.

Solución

A probabilidade de que non visite ningunha das tres casetas é o complementario da unión de L, P e HLPH.

Para calcular a probabilidade de que un asistente non visite ningunha das tres casetas, primeiro atopamos a unión das tres e logo o complementario: P(LPH)=P(L)+P(P)+P(H)P(LP)P(LH)P(PH)+P(LPH) P(LPH)=0.50+0.30+0.200.100.050.03+0.02=0.84

A probabilidade do complementario será: P(ningunha caseta)=P(algunha caseta)=LPH=1P(LPH) P(ningunha caseta)=10.84=0.16

Entón, a probabilidade de que un asistente non visite ningunha das tres casetas é do 16%.

Actividade 4: táboa de continxencia

Ocultar

Nunha empresa de deseño gráfico, os empregados clasifícanse segundo a súa experiencia (Expertos ou Novatos) e o tipo de proxecto que manexan (Web ou Gráfico). Dos 120 empregados, o 60% traballan en proxectos Web e o resto en proxectos Gráficos. Entre os que traballan en proxectos Web, o 70% son Expertos. Por outro lado, dos que traballan en proxectos Gráficos, o 40% son Expertos.

a) Elaborar unha táboa de continxencia coas frecuencias absolutas de empregados en cada categoría

Solución

Primeiro, establecemos as cantidades totais baseándonos na información proporcionada:

Total de empregados: 120

  • Empregados en Web: 60% de 120 = 72
  • Empregados en Gráficos: 40% de 120 = 48

Agora, determinamos o número de Expertos e Novatos en cada área:

  • Empregados Expertos en Web W: 70% de 72 = 50.4, que aproximaremos a 50 para ter un número enteiro.
  • Empregados Novatos en Web: 72 - 50 = 22
  • Empregados Expertos en Gráficos G: 40% de 48 = 19.2, que aproximaremos a 19 para ter un número enteiro.
  • Empregados Novatos en Gráficos: 48 - 19 = 29

Con estes datos, podemos crear a táboa de continxencia:

Categoría Web Gráficos Total
Expertos 50 19 69
Novatos 22 29 51
Total 72 48 120

b) Calcular a probabilidade de que, ao escoller un empregado ao chou, este sexa un Experto ou traballe en proxectos Web.

Solución

Definimos os sucesos

E = "Ser Experto"

E = "Non ser Experto" = "Ser Novato"

W = "Empregado en Web"

W = "Non Empregado en Web" = "Empregado en Gráficos"

Entón, a probabilidade pedida é:

P(Experto ou Web)=P(E U W)=P(Experto)+P(Web)P(ExpertoWeb)

Sabemos que:

P(Experto)=Número de ExpertosTotal de empregados=69120 P(Web)=Número de empregados en WebTotal de empregados=72120 P(Experto e Web)=P(ExpertoWeb)=Número de Expertos en WebTotal de empregados=50120

Realizamos o cálculo:

P(Experto ou Web)=P(Experto U Web)=69120+7212050120

P(Experto U Web)=69+7250120

P(Experto U Web)=91120 P(Experto U Web)=0.76

Entón, a probabilidade expresada en porcentaxe de que ao escoller un empregado ao chou, este sexa un Experto ou traballe en proxectos Web é aproximadamente 76%.

Actividade 5: teorema da probabilidade total

Ocultar

Imaxina que nun festival de música hai tres escenarios diferentes: Electrónica (E), Rock (R) e Pop (P). Os asistentes distribúense polos escenarios segundo as súas preferencias musicais. O 40% prefiren Electrónica, o 35% Rock e o 25% Pop. Ao final de cada día, sortéase un premio entre os asistentes de cada escenario. A probabilidade de gañar o premio é do 5% no escenario de Electrónica, do 6% no de Rock e do 4% no de Pop.

Cal é a probabilidade de que un asistente calquera gañe o premio?

Solución

Definimos os sucesos:

  • E: O asistente está no escenario de Electrónica.
  • R: O asistente está no escenario de Rock.
  • P: O asistente está no escenario de Pop.
  • G: O asistente gaña o premio.

As probabilidades de estar en cada escenario son:

P(E)=0.40 P(R)=0.35 P(P)=0.25

E as probabilidades de gañar o premio en cada escenario son:

P(G|E)=0.05 P(G|R)=0.06 P(G|P)=0.04

Aplicamos o Teorema de la Probabilidade Total para calcular P(G):

P(G)=P(G|E)P(E)+P(G|R)P(R)+P(G|P)P(P) P(G)=(0.050.40)+(0.060.35)+(0.040.25) P(G)=0.02+0.021+0.01 P(G)=0.051

Entón, a probabilidade en porcentaxe de que un asistente calquera gañe o premio é do 5.1%.

Actividade 6: teorema de Bayes

Ocultar

Supoñamos que temos unha caixa con bólas de tres cores: vermellas, verdes e azuis. A caixa contén o 40% de bólas vermellas, o 35% de bólas verdes e o resto de bólas azuis. Ademais, cada cor de bóla ten unha probabilidade distinta de ser unha bóla premiada: o 10% das bólas vermellas son premiadas, o 15% das bólas verdes e o 20% das bólas azuis.

Se extraemos unha bóla ao chou e resulta ser unha bóla premiada, cal é a probabilidade de que a bóla sexa verde?

Solución

Definamos os sucesos:

  • R: Extraer unha bóla vermella.
  • G: Extraer unha bóla verde.
  • B: Extraer unha bóla azul.
  • W: Extraer unha bóla premiada.

As probabilidades dadas son:

P(R)=0.40 P(G)=0.35 P(B)=1P(R)P(G)=0.25

E as probabilidades de que cada bóla sexa premiada son:

P(W|R)=0.10 P(W|G)=0.15 P(W|B)=0.20

Queremos atopar a probabilidade de que, se sacamos unha bóla premiada, esta sexa verde, é dicir, P(G|W).

Primeiro, usamos o Teorema da Probabilidade Total para calcular P(W):

P(W)=P(W|R)P(R)+P(W|G)P(G)+P(W|B)P(B) P(W)=(0.100.40)+(0.150.35)+(0.200.25) P(W)=0.04+0.0525+0.05 P(W)=0.1425

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para calcular P(G|W):

P(G|W)=P(W|G)P(G)P(W) P(G|W)=0.150.350.1425 P(G|W)=0.05250.1425 P(G|W)0.3684

Polo tanto, a probabilidade en porcentaxe de que a bóla premiada sexa verde é aproximadamente do 36.84%.