Saltar la navegación

Proporción mostral

 

Moitas veces, a mostra realízase co fin de estimar a proporción dunha poboación que ten unha característica específica, como a proporción de todos os artigos que saen dunha cadea de montaxe que son defectuosos ou a proporción de todas as persoas que entran nunha tenda e que realizan a súa compra con tarxeta. 

Se desta poboación extraemos mostras de tamaño n, e en cada mostra estudamos a proporción de individuos que cumpren a característica estudada, obteremos diferentes proporcións mostrais.

Definimos o estatístico proporción mostral:

\(\hat p=\dfrac {X} {n}\)

onde X  é o número de éxitos ou observacións de interese e n o tamaño da mostra.

A proporción da poboación denótase por p, e a proporción da mostra denótase por \(\hat p \).

A proporción da mostra é unha variable aleatoria: varía dunha mostra a outra dun xeito que non se pode predicir con certeza. 

Exemplo: comportamento das proporcións mostrais

Aproximadamente o 60% do corpo dun adulto é agua, o que significa que a proporción de auga do corpo dun adulto é p = 0.6. Se extraemos mostras aleatorias de tamaño 100 da poboación adulta, como esperaríamos que se comportase a proporción mostral de auga no corpo, p̂?

Debido á variabilidade da mostra, a proporción mostral en mostras aleatorias de tamaño 100 tomará valores numéricos que varían segundo as leis do azar: noutras palabras, a proporción da mostra é unha variable aleatoria. Para resumir o comportamento de calquera variable aleatoria, centrámonos en tres características da súa distribución: o centro, o espallamento e a forma.

Esperaríamos o seguinte:

  • Centro: algunhas proporcións de mostras serán algo máis baixas (por exemplo, 0.55 ou 0.58), mentres que outras serán máis altas (por exemplo, 0.61 ou 0.66). Se espera que a media de todas as proporcións das mostras coincida coa proporción da poboación, 0.6. Noutras palabras, a media da distribución de p̂ debería ser p.
  • Espallamento: para mostras de 100, agardaríamos que as proporcións da mostra de auga non se afastasen demasiado da proporción da poboación 0.6. As proporcións de mostra inferiores a 0.5 ou superiores a 0.7 serían bastante raras. Por outra banda, se só tomasemos mostras de tamaño 10, non nos sorprendería nada unha proporción mostral de auga tan baixa como 0.45 ou tan alta como 0.7. Así, o tamaño da mostra xoga un papel moi importante: debería haber menos dispersión para mostras máis grandes, máis espallamento para mostras máis pequenas.
  • Forma: as proporcións das mostras máis próximas a 0.6 serían as máis comúns, e as proporcións das mostras afastadas de 0.6 serían menos probables. Noutras palabras, a forma da distribución da proporción mostral debe abultarse no medio e estreitarse nos extremos: debería asemellarse á distribución normal.