Saltar la navegación

Actividades resoltas

Exercicio 1: intervalo de confianza para a media

Queremos alugar un piso sen amoblar o ano que ven na nosa cidade. O aluguer medio mensual dunha mostra aleatoria de 60 pisos dunha web de aluguer é de 1000 euros. Se asumimos que o aluguer mensual da poboación segue unha distribución normal cunha desviación típica de 200€.
a) Constrúe un intervalo de confianza para a renda media cun 95% de confianza.

Solución

El IC para a media é:

  • No noso caso n = 60, x̄ = 1000, σ = 200, 1 - α = 0.95.
    Para construír o intervalo debemos calcular o valor crítico, zα/2, utilizando as táboas da distribución normal: zα/2 = 1.96
  • Polo tanto, o intervalo será:
    \(\left(1000-1.96\cdot\dfrac{200}{\sqrt{60}}, 1000+1.96\cdot\dfrac{200}{\sqrt{60}}\right)\) = (949.39, 1050.61)

Estamos 95% seguros de que a franxa (949.39 €, 1050.61 €) contén o aluguer mensual real medio dos pisos da nosa cidade.

b) A que poboación de pisos se pode inferir adecuadamente o resultado anterior?

Solución

Podemos inferir con máis precisión os pisos da cidade que aparecen na web. Non debemos inferir todos os pisos da cidade porque non sabemos se os pisos da páxina web de aluguer son representativos de todos os pisos da cidade.

c) De qué tamaño sería necesaria unha mostra dos pisos para estimar a media da poboación dentro de máis ou menos 50€ co 90% de confianza?

Solución

Nos dan o erro, E = 50,  e o nivel de confianza, 1 - α = 0.90, e nos piden calcular o tamaño mostral, n.

Calculamos o valor crítico, zα/2, utilizando as táboas da distribución normal: zα/2 = 1.645

Entón:

\[E=z_{\dfrac α 2}\dfrac{σ}{\sqrt{n}}\longrightarrow50=1.65\cdot\dfrac{200}{\sqrt{n}}\]

Despexando n:

\[n=\left(1.645\cdot\dfrac{200}{50}\right)^2=43.296\]

O tamaño da mostra debe ser, como mínimo, de 44 pisos.

Exercicio 2: intervalo de confianza para a proporción

Para coñecer a porcentaxe de ocupados de 16 a 74 anos que teletraballaron, o INE realizou unha enquisa nas principais áreas metropolitanas e descubriu que 39 de cada 200 ocupados teletraballaran durante a semana anterior á entrevista. 
Dá unha estimación e un intervalo de confianza do 90% para a verdadeira proporción de ocupados nas principais áreas metropolitanas que teletraballasen .

Solución

Calculamos a proporción mostral e o valor crítico:

  • \(\hat p = \frac {39}{200}=0.195\).
  • 1 - α = 0.9 \(\Rightarrow\)  zα/2 = 1.645

O intervalo pedido será:

 \(IC =\left (0.195-1.645{\sqrt {\dfrac {0.195\cdot0.805}{200}}}, 0.195+1.645{\sqrt {\dfrac {0.195\cdot0.805}{200}}}\right )\)= (0.149, 0.242)

Estímase a proporción de ocupados que teletraballaron entre, aproximadamente, o 14.9% e o 24.2%, cun 90% de confianza

Exercicio 3: error máximo

O intervalo de confianza para unha media é (23, 35). Atope a estimación puntual e o erro máximo da estimación.

Solución

A estimación puntual é o punto medio do intervalo:

\({\overline x}=\dfrac{35 + 23}{2}= 20\) 

O erro é a semilonxitude do intervalo (o radio do intervalo):

\(E=\dfrac{35 - 23}{2}= 6\) 

Exercicio 4: tamaño mostral

Que tamaño de mostra se necesitaría para estimar a altura media das mulleres cunha precisión de 2 cm co 99% de confianza? Suponse que a desviación estándar é de aproximadamente 9 cm.

Solución

Os datos do enunciado son:

  • O erro, E = 2
  • O nivel de confianza, 1 - α = 0.99 \(\Rightarrow\) zα/2 = 2.576
  • A desviación, σ = 9

Despois de sustituir os datos na fórmula do erro, despexamos o tamaño mostral:

\(E=z_{\dfrac α 2}\dfrac{σ}{\sqrt{n}}\Longrightarrow2=2.576\cdot\dfrac{9}{\sqrt{n}}\)

Despexando n:

\[n=\left(2.576\cdot\dfrac{9}{2}\right)^2=134.37\]

O tamaño da mostra debe ser, como mínimo, de 135 mulleres.

Exercicio 5: intervalo de confianza para a proporción

A última enquisa (1100 enquisados) revela que o 54% da poboación apoia as decisións orzamentarias do goberno. Sabendo que a marxe de erro é de ± 3%. Calcula:
a) \(\hat p\). 
b) O intervalo de confianza.
c) A desviación estándar de \(\hat p\).
d) O valor crítico e o nivel de confianza.

Solución

a)   \(\hat p = 0.54\)

b) (0.54 - 0.03, 0.54 + 0.03) = (0.51, 0.57)

c) \({\sqrt {\dfrac {\hat p(1-\hat p)}{n}}}={\sqrt {\dfrac {0.54\cdot0.46}{1100}}}=0.015\)

d) \(E =z_{α/2}{\sqrt {\dfrac {pq}{n}}}\Rightarrow 0.03=z_{α/2}\cdot 0.015\Rightarrow z_{α/2}=\dfrac {0.03}{0.015}=2\) é o valor crítico.

Utilizando as táboas da N(0, 1) achamos o nivel de confianza: 

zα/2 = 2 \(\Rightarrow\) 1 - α = 0.95 \(\Rightarrow\) O nivel de confianza é do 95%.