Intervalo de confianza para a proporción

Consideramos X unha variable aleatoria B (n, p)

Para tamaños grandes de n, n> 30, a distribución binomial aproxímase a unha distribución normal: 

$X\to N(np,\sqrt{npq})$

Sabemos de estatística puntual, que a distribución da proporción mostral:

$\hat{p}\to N\left(p,\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}\right)$

Polo tanto, tipificando:

$Z={\displaystyle \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}}}\to N(0,1)$

Fixando un nivel de confianza, 1 - α, podemos calcular:

$P(-z<{\displaystyle \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}}}<z)=1-\alpha$

Operando:

 $P(\hat{p}-z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}<p<\hat{p}+z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}})=1-\alpha$

que corresponde ao que queremos:

 $P({\hat{p}}_1<p<{\hat{p}}_2)=1-\alpha$

Temos así calculado o intervalo de confianza (p̂₁, p̂₂), onde:

${\hat{p}}_1=\hat{p}-z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}$

${\hat{p}}_2=\hat{p}+z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}$

Polo tanto, chamando IC ao intervalo de confianza, queda do seguinte xeito:  $$IC=(\hat{p}-z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}},\hat{p}+z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}})=\left(\hat{p}\pm z\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}\right)$$

Para o seu cálculo teremos que atopar o valor z que se chama valor crítico e normalmente se denota por $z_{{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ xa que o seu valor depende do nivel de significación, α.

Gráficamente:

IMPORTANTE

• Na práctica, o intervalo anterior non é calculable (depende do valor descoñecido p). Para resolver o problema substitúese p polo seu estimador, $\hat{p}$. O intervalo resultante é:
   $$IC=(\hat{p}-z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}},\hat{p}+z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}})=\left(\hat{p}\pm z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}}\right)$$
• No caso dunha resposta dicotómica onde se descoñece p, só hai que especificar dous parámetros: o nivel de confianza (1 - α) e a semilonxitude do intervalo. Isto débese a que se asume a situación de máxima incerteza, onde p = 0,5. Entón $pq=\frac{1}{4}$ e o intervalo de confianza, na situación de máxima incerteza, é:
   $$IC=(\hat{p}-z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}},\hat{p}+z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}})=\left(\hat{p}\pm z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}}\right)$$