Exercicio 1: proporción mostral
Supoñamos que se sabe que o 43% dos menores de 10 a 12 anos non posúen redes sociais. Se se enquisa unha mostra aleatoria de 50 menores, cal é a probabilidade de que a proporción da mostra dos que non posúen redes sociais estea entre o 45% e o 50%?
Solución
Para este problema, sabemos p = 0.43 e n = 50. En primeiro lugar, debemos comprobar as nosas condicións para a distribución da mostra da proporción mostral:
np = 50(0.43) e n(1-p) = 50(1-0.43) ----> ambos son superiores a 5.
Dado que se cumpren as condicións, p̂ terá unha distribución de mostraxe aproximadamente normal con media μ = 0.43 e desviación típica
\(\sqrt{\frac{0.43(1-0.43)}{50}}\) = 0.07
É dicir:
\(\hat p\rightarrow N(0.43; 0.07)\)
Pídennos calcular P (0.45 < p̂ < 0.5) :
\(P(0.45 <\hat {p} < 0.5)= P \left( \frac {0.45-0.43}{0.07}<\frac{\hat {p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}<\frac{0.5-0.43}{0.07}\right)\)
= P(0.29 < Z < 1) = P (Z < 1) - P(Z < 0.286)
= 0.8413 - 0.6141 = 0.2272
Polo tanto, se a proporción real de menores de 10 a 12 anos que non posúen redes sociais é do 43 %, habería un 22,87 % de probabilidades de que vexamos unha proporción na mostra entre o 45 % e o 50 %, cando a mostra é de tamaño cincuenta.