Intervalo de confianza para a media

Táboa t-Student

Contén os valores de a tales que $P(t_{n-1}\ge a)=p$, onde n-1 son os Graos de Libertade, con n o tamaño da mostra.

Intervalo de confianza para a media da poboación con σ descoñecida

Neste caso utilizamos como estimador da varianza a cuasivarianza, $s_{n-1}^2$. Entón se temos un nivel de confianza de 1- α, o intervalo de confianza para a media poboacional é:

$$IC=(\bar{x}-t_{\frac{\alpha }{2},(n-1)}\cdot \frac{s_{n-1}}{\sqrt{n}},\bar{x}+t_{\frac{\alpha }{2},(n-1)}\cdot \frac{s_{n-1}}{\sqrt{n}})=(\bar{x}\pm t_{\frac{\alpha }{2},(n-1)}\cdot \frac{s_{n-1}}{\sqrt{n}})$$

EXEMPLO:

Sábese que as vendas semanais dun determinado produto en supermercados segue unha distribución normal. Para estimar o número medio de vendas semanais, recóllese unha mostra de 9 supermercados, obtendo unha media de 16.2 e unha cuasivarianza igual a 22.9. Determine un intervalo ao 95% de confianza para o número medio das devanditas vendas.

Os datos do problema son:

• X = número de vendas dun determinado produto en supermercados $\to N\left(\mu ,\sigma \right)$
• n = 9
• $\bar{x}$ = 16.2
• $s_{n-1}^2$ = 22.9  $\Rightarrow$ $s_{n-1}=\sqrt{22.9}=4.785$ 
• 1 - α = 0.95 $\Rightarrow$ $\frac{\alpha }{2}$ = 0.0025 $\Rightarrow$  t_{0.025, 8} = 2.3060

Substituíndo: 

$$IC=(16.2-2.3060\frac{4.785}{\sqrt{9}},16.2+2.3060\frac{4.785}{\sqrt{9}})=(12.5,19.9)$$

Temos unha confianza do 95% de que o número medio de vendas estea entre 12.5 e 19.9.

Táboa Ji-cadrado, χ² 

A táboa da distribución Ji-cadrado (tamén chamada Chi-cadrado), contén os valores de a tales que $P({\chi }_{n-1}\ge a)=p$, onde n-1 son os Graos de Libertade, con n o tamaño da mostra.

Intervalo de confianza para a varianza

Se o nivel de confianza é 1- α, s² a cuasivarianza e n o tamaño mostral, o intervalo de confianza para a varianza poboacional virá dado por:

$$IC=(\frac{(n-1)s_{n-1}^2}{b},\frac{(n-1)s_{n-1}^2}{a})$$

onde a e b son os seguintes valores da distribución ${\chi }_{n-1}^2$, que hai que buscar na táboa:

EXEMPLO:

O número de visitantes á Torre de Hércules durante o mes de xullo segue unha distribución normal con parámetros descoñecidos. Obtívose unha mostra aleatoria de 10 días en xullo, na que a cuasidesviación tipica é igual a 60,07.

1. Calcula un intervalo de confianza para a varianza da poboación cun nivel de confianza do 90%.
2. Calcula un intervalo de confianza para a desviación típica da poboación co nivel de confianza anterior.

Os datos do problema son:

• X = número de visitantes á Torre de Hércules durante o mes de xullo $\to N\left(\mu ,\sigma \right)$
• n = 10
• $s_{n-1}$ = 60.07$\Rightarrow$ $s_{n-1}^2$ = 3608,73 
• 1 - α = 0.90 $\Rightarrow$ $\frac{\alpha }{2}$ = 0.05. Buscamos os valores a e b na táboa $\Rightarrow$ $\{\begin{array}{r}a={\chi }_{(1-0.05),9}^2=25\\ b={\chi }_{0.05,9}^2=7.26\end{array}$

Substituíndo: 

$$IC=(\frac{(10-1)\cdot 3608,73}{25},\frac{(10-1)\cdot 3608,73}{7.26})=(1299.14,4473.63)$$

1. O intervalo de confianza para a varianza poboacional é (1299.14, 4473.63).
2. Como σ = $\sqrt{{\sigma }^2}$, o intervalo de confianza para a desviación típica poboacional é (30.04, 66.89).