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Decisión arriesgada

Guarda las distancias

Foto aérea del Pazo Torres do Allo y de la iglesia

En el ayuntamiento de Zas van a mejorar los caminos de la zona y hay cierta preocupación por si al remover el terreno aparece el tesoro escondido.

Ya te contamos que, según la leyenda, al que lo encuentre le pueden suceder muchas desgracias, por eso debes tener cuidado, ¡todo puede pasar!

Además, siempre que se mueven los marcos o se tocan las fincas surgen los problemas, por eso hay que aplicar bien la geometría para que los cambios se hagan según lo acordado y los vecinos queden contentos.

Los nuevos caminos también deben respetar el entorno etnográfico del pazo Torres do Allo, donde todo es "notable".

Estudiaremos puntos y rectas notables del triángulo, cuyas propiedades nos ayudarán a resolver repartos entre vecinos y a economizar recursos en la creación de nuevos viales.

Camino en el punto medio

Comenzamos estudiando la primera recta notable de un triángulo, la mediatriz.

Como los lados de un triángulo son segmentos, la definimos a partir de la mediatriz de un segmento.

Haz clic para conocer su definición y propiedad y contesta a estas preguntas:

  • ¿Qué ángulo forma la mediatriz con el segmento \(\overline{AB}\)? 
  • ¿Qué puedes afirmar sobre los segmentos \(\overline{AM}\) y \(\overline{MB}\)? Compruébalo utilizando la herramienta cm.
  • Comprueba que se cumple la propiedad midiendo los segmentos \(\overline{PA}\) y \(\overline{PB}\) y moviendo el punto \(P\).  
  • Haz clic sobre el botón reproducir y observa la simetría de los triángulos \(\triangle{AMP}\) y \(\triangle{BMP}\). ¿Recuerdas alguna de las condiciones de igualdad de triángulos? 

https://www.geogebra.org/m/jmgax8nf (Ventana nueva)

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El almacén

Las cooperativas de agricultores de O Pombal y O Allo necesitan un almacén donde guardar la maquinaria agrícola. Han llegado al acuerdo de pagar la construcción entre ambas asociaciones y creen que lo más justo es que esté a la misma distancia de los dos pueblos.

¿Hay una única ubicación para el almacén? Ayuda a las cooperativas construyendo un mapa donde indiques los posibles lugares donde pueden situar el almacén.

https://www.geogebra.org/m/bca7swnn (Ventana nueva)

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Si la decisión de dónde ubicar el almacén dependiese de ti, ¿qué lugar de todos los posibles escogerías? ¿Cuáles son tus motivos? Comenta con los miembros de tu equipo los pros y los contras de vuestras elecciones. 

Pista 1

Quizá se te ocurra que situar el almacén próximo a una carretera es una buena idea. ¿Cuáles serían en este caso las opciones? Estando ese lugar a la misma distancia de O Pombal y O Allo, ¿crees que alguno de los dos pueblos se vería beneficiado de situarlo junto a una carretera? ¿Por qué? 

Pista 2

En el caso de que decidas situar el almacén en un lugar sin acceso por carretera y hubiese que construir una, ¿cuál crees que sería el lugar que deberías escoger para ahorrar costes?

Lugar equidistante

Los responsables del pazo Torres do Allo se han enterado de la iniciativa de las cooperativas y también quieren participar. La gente de las cooperativas está encantada, pues así el coste de construcción del almacén se divide entre tres.

¿Cuántas posibilidades tienen ahora para colocar el almacén? Utiliza el mapa siguiente para calcular la localización del almacén, que está a igual distancia de O Pombal, O Allo y el pazo Torres do Allo.

https://www.geogebra.org/m/avkzxkby (Ventana nueva)

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¿Ya sabes dónde ubicar el almacén? Comprueba con la herramienta cm que la distancia de ese punto a los tres lugares es la misma. ¿Cuál es esa distancia? (La herramienta cm indica las cantidades en metros) 

Este punto se llama circuncentro y es la intersección de las mediatrices del triángulo. Su nombre se debe a que es el centro de la circunferencia circunscrita (que pasa por todos los vértices) al triángulo. ¡Dibuja esa circunferencia!

Medianera del ángulo

Continuamos estudiando la segunda recta notable de un triángulo, la bisectriz. Hay una bisectriz para cada uno de sus tres ángulos, por eso la definimos a partir de la bisectriz de un ángulo.

Haz clic para conocer su definición y propiedad y contesta a estas preguntas:

  • Mueve los puntos situados en los lados del ángulo, ¿qué observas?
  • Comprueba que se cumple la propiedad moviendo el punto \(P\) y midiendo la distancia de ese punto a los lados del ángulo.

https://www.geogebra.org/m/gywk5uk5 (Ventana nueva)

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Recuerda...

La distancia de un punto \(P\) a una recta \(r\) es la menor de todas las distancias del punto a los puntos de la recta. El punto que define esa distancia se encuentra en la intersección de la recta perpendicular a la recta \(r\) por el punto \(P\).

Abriendo caminos

Las personas que dirigen las cooperativas y el pazo ya conocen el lugar para situar el almacén de forma que esté a la misma distancia de O Pombal, O Allo y el pazo. Este lugar presenta dos problemas: no se puede llegar a él por carretera y la finca donde habría que situarlo tiene otra construcción demasiado cerca. 

Se enteran de que se planea abrir nuevos caminos para comunicar los tres lugares y deciden que otro criterio equitativo para situar el almacén podría ser que esté ubicado a la misma distancia de los nuevos caminos.

¿Puedes ayudarles a encontrar la nueva ubicación para el almacén? En el siguiente mapa hemos trazado ya los nuevos caminos que se abrirán próximamente. Calcula tú la situación del almacén.

Indicación GeoGebra

Para calcular la situación del almacén necesitarás dibujar bisectrices de ángulos. Para ello puedes usar la herramienta "Bisectriz". Hay dos formas de usarla:

  1. Haciendo clic en los lados del ángulo que quieres dividir en dos partes iguales.
  2. Haciendo clic en los vértices del triángulo que definen el ángulo.

Observa que si optas por la primera opción, el programa dibuja la bisectriz interior y la exterior del ángulo, lo que puede hacer que la representación quede confusa con tanta información.

En el caso de que hagas clic en los vértices, el orden en el que los escoges es importante. Debes seleccionar el vértice del ángulo que quieres dividir de segundo y cualquiera de los otros dos de primero y tercero.

https://www.geogebra.org/m/b4pnnjjq (Ventana nueva)

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¿Ya lo tienes? ¿Qué más necesitas dibujar para comprobar que ese punto se encuentra a la misma distancia de los tres caminos? Comprueba que ese punto equidista de las tres carreteras. ¿A qué distancia estaría?

Ese punto se llama incentro y se corresponde con la intersección de las bisectrices de los tres ángulos del triángulo. Recibe ese nombre porque es el centro de la circunferencia inscrita (la más grande que podemos dibujar) en el triángulo. Con los cálculos que has hecho ya estás en condiciones de dibujarla, ¿te animas? 

Fincas iguales

Ha llegado el turno de estudiar el tercer grupo de rectas notables de un triángulo: las medianas.

Haz clic para conocer su definición y propiedad y contesta a estas preguntas:

  • ¿Qué puedes afirmar sobre los segmentos \(\overline{BM}\) y \(\overline{MC}\)? Compruébalo utilizando la herramienta \(cm\).
  • Comprueba de dos formas distintas que las áreas de los dos triángulos de color son iguales:
    • Calculando la base y la altura de los triángulos (para ello debes marcar la segunda pista que ofrecemos en "Propiedad").
    • Utilizando la herramienta "Área" (\(cm^2\)). Para usar esta herramienta debes marcarla y hacer clic sobre el polígono al que le quieres calcular el área.

https://www.geogebra.org/m/prqfqmku (Ventana nueva)

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Curiosidad

En muchos textos se definen las medianas de un triángulo como los segmentos (y no las rectas) que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto. En la siguiente construcción usaremos esta definición. 

Reparto de tierras

La apertura de los nuevos caminos es costosa y el ayuntamiento de Zas acuerda con los tres implicados en el proceso que podrán quedarse con las tierras entre los caminos siempre que ayuden con el pago de los viales. 

El reparto de tierras dentro del triángulo formado por O Allo, O Pombal y el pazo Torres do Allo debe ser equitativo. Además parece razonable que las tierras que correspondan a cada lugar estén próximas al mismo.

¿Serás capaz esta vez de ayudarles a resolver el problema? En el siguiente mapa debes construir 6 triángulos de igual área utilizando las tres medianas del triángulo.  

Indicaciones

  • Traza las tres medianas del triángulo.
  • Marca el punto donde se cortan.
  • Dibuja los seis triángulos utilizando la herramienta "Polígono".
  • Calcula su área con la herramienta "Área" (\(cm^2\)).

https://www.geogebra.org/m/xudxvejs (Ventana nueva)

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¿Tienes ya los seis triángulos? ¿Qué cantidad de tierra le corresponde a cada uno de los lugares? Recuerda que las unidades de la herramienta \(cm\) eran metros, ¿en qué unidades medirá \(cm^2\)? 

¿Podrías indicar cuántas hectáreas le corresponden a cada uno de los tres lugares implicados?

El punto donde intersecan las tres medianas se llama baricentro y es el centro de gravedad del triángulo.

Curiosidad

El baricentro es una especie de punto de equilibrio del triángulo. Puedes comprobar esta propiedad construyendo un triángulo cualquiera de cartón y calculando el baricentro a partir de la intersección de sus medianas. Si marcas ese punto y apoyas el triángulo sobre él (por ejemplo, apoyándolo en la punta de un lápiz) podrás comprobar cómo se mantiene en equilibrio.

Definiciones

Científica con rosco

Repasa rectas y puntos notables de un triángulo

Mediatriz de triángulo

Recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por el punto medio de ese lado.

Circuncentro de triángulo

Punto donde se cortan las mediatrices.

Mediana de triángulo

Recta que pasa por el punto medio de un lado del triángulo y por el vértice opuesto a ese lado.

Baricentro de triángulo

Punto donde se cortan las medianas.

Bisectriz de un triángulo

Recta que divide un ángulo del triángulo en dos partes iguales.

Incentro de triángulo

Punto donde se cortan las bisectrices.

Reflexiona

Como cada lado de un triángulo es un segmento, la definición de mediatriz de un triángulo es la de mediatriz de ese segmento.

Como el triángulo tiene tres ángulos, la definición de bisectriz de un triángulo es la de cada uno de sus ángulos.

El conjunto de puntos que cumplen una condición se denomina lugar geométrico. Por ejemplo, la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que distan lo mismo del centro. Hemos visto también en este apartado que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que distan lo mismo de los extremos de un segmento.

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