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2.2. Conectando plantas

Jardines de excelencia

Castillo de Soutomaior foto aérea
 

Un elemento singular de pazos y castillos son los jardines.

En la mayoría su belleza se basa en sus formas regulares: circulares y poligonales.

Uno de los jardines gallegos más importantes es el del Castillo de Soutomaior, reconocido en 2012 como jardín de excelencia internacional por la Sociedad Internacional de la Camelia.

Consta de una finca de veinticinco hectáreas de las cuales dos y media son de camelias, bosques, viñedos y zona monumental.

Investiga en la web del ayuntamiento de Soutomaior que especies importantes hay en este jardín. Navega por sus fotos y descubre su geometría.

El jardinero del castillo

El método del jardinero

En la foto anterior puedes ver el jardín del castillo de Soutomaior, en él trabajan personas expertas en jardinería.

¿Te has preguntado como hacen las circunferencias? ¿Has oído hablar del "Método del jardinero"?

La respuesta está en que saben geometría o, por lo menos, la propiedad que cumplen los puntos que forman una circunferencia y otras figuras que se forman mediante giros.

Actividad 1

Dibuja un punto en el cuaderno y, a continuación, intenta dibujar puntos que estén a la misma distancia de él. ¿Intuyes alguna figura?

Solución

Puntos a la misma distancia de un punto fijo

Actividad 2

Dibuja un segmento en tu cuaderno. ¿Qué ocurre si lo movemos dejando uno de los extremos fijo?

Solución

Segmento que se mueve con uno de sus extremos fijo

Definiciones

Una de las maneras de definir una circunferencia es a partir de la propiedad que cumplen sus puntos, es decir:

"La circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia (radio) de un punto fijo (centro)".

Hablaremos de círculo cuando consideremos la superficie que ocupa la circunferencia.

Estos son los elementos que puedes ver en este applet de GeoGebra:

  • Radio: segmento que une un punto cualquiera de la circunferencia con el centro.
  • Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
  • Diámetro: cuerda que pasa por el centro.
  • Arco: parte de la circunferencia comprendida entre los extremos de una cuerda. Si la cuerda es un diámetro, el arco se denomina semicircunferencia.
  • Ángulo central: ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.
  • Ángulo inscrito: ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de la circunferencia. Su amplitud es la mitad del ángulo central correspondiente. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90º.

En geometría un conjunto de puntos que cumplen una propiedad se llama "lugar geométrico".

Historia de Pi

¿Sabías que cada 14 de marzo se celebra el día de Pi?

Si hablamos de círculos y de circunferencias tenemos que hablar del número Pi. Es un número fascinante, igual que su historia, ¡anímate a conocerla!

Historia de Pi

Ilustración del método de los polígonos para el cálculo de Pi

El primer algoritmo que conocemos para estimar el valor de π fue una construcción geométrica mediante polígonos, desarrollada por Arquímedes alrededor del año 250 a. C.

Este algoritmo se utilizó durante 1000 años y calculaba el perímetro de un círculo, inscribiendo y circunscribiendo polígonos en él. Empezó con un hexágono y fue doblando el número de lados hasta llegar a un polígono de 96 lados. Calculando el perímetro de estos polígonos, estimó que 

\frac{223}{71}<π<\frac{22}{7}

(es decir, 3,1408 < π < 3,1429). Esta aproximación por exceso de π hizo creer durante mucho tiempo que se trataba de su valor real.

Los decimales de Pi

Hoy en día sabemos que no es cierto porque π es un número irracional con infinitas cifras no periódicas. Utilizando este método, fue posible calcular 39 cifras de π en 1630. Cada día potentes ordenadores trabajan para obtener más y más cifras de este número.

Número que no se puede convertir en fracción.

La razón es Pi

Si divides la longitud de la circunferencia (L) entre el diámetro (D) obtienes siempre la misma cantidad, ¡Pi!

π=\frac{L}{D}

Por eso decimos que Pi es una "razón".

Razón no es lo mismo que fracción.

La longitud tiene un Pi

Así, podemos escribir \(L=\pi\cdot D\) o también, \(L=\pi\cdot2\cdot r\)

Conecta circunferencias y polígonos

En la actividad anterior, Historia de PI, construimos polígonos con sus vértices en una circunferencia (inscritos).

Ahora es tu turno, debes investigar cuántos polígonos regulares puedes dibujar en esta trama circular.

Para dibujar el polígono regular sitúa un punto en la trama circular y marca consecutivamente puntos que estén separados entre sí una cantidad fija (de uno en uno, de dos en dos...).

  • ¿Cuál es el polígono con mayor número de lados que puedes construir? ¿Por qué?
  • ¿Y si eliminamos la restricción de que sea un polígono regular? ¿Cómo son los polígonos construidos con la trama que tienen un lado que es diámetro de la circunferencia?

Utiliza la herramienta Polígono: 

Herramienta polígono de GeoGebra  Clica en los vértices, uno a uno, finalizando en el primero.

https://www.geogebra.org/m/eakn2mag (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/eakn2mag,GG_MAT1ESO_REA05_Pol%EDgonos%20regulares%20en%20trama%20circular,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Definiciones

Científica con rosco

Repasa elementos de la circunferencia

Circunferencia

Figura plana cerrada y curva cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto llamado centro.

La superficie que encierra se llama círculo.

Radio

Segmento que une un punto cualquiera de la circunferencia con el centro.

Cuerda
Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro

Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro.

Cuerda que pasa por el centro (equivalente a la definición anterior).

Arco

Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.

Ángulo central

Ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios

Ángulo inscrito
Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia. Los segmentos que forman sus lados al cortar a la circunferencia son dos cuerdas.
Lugar geométrico

Conjunto de puntos que cumplen una condición. La circunferencia es un lugar geométrico, la condición que cumplen sus puntos es que están a la misma distancia del centro.

Lista de cotejo de circunferencias, círculos y polígonos

Completa la lista de cotejo marcando las casillas al realizar las actividades correspondientes.

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