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2.1. Conectando torres

Geometría de la torre

Pazo de Vilamarín

Algunos pazos fueron castillos en su origen y aún conservan un aspecto de fortaleza por tener alguna de sus torres y parte de sus murallas.

El pazo de Vilamarín destaca por el número de torres y porque no todas tienen la misma forma en su base, lo que da un diseño especial a su planta, ¿sabes cuál es? ¿Con qué polígono la puedes aproximar?

Las torres tenían varias funcionalidades, una de ellas era defensiva. La forma influía en el éxito de la batalla, ¿sería mejor que tuviesen base cuadrada?, ¿circular?, ¿otra distinta?

El torneo

Exposición de armeros Feria Medieval Monforte de Lemos

La historia de las familias que vivieron en un pazo se puede conocer a través de sus escudos, también llamados blasones.

Las armas suelen representarse en piedra, pero también en otros elementos como banderas (pendones), vestimentas...

Escudo del Pazo dos Cervela

Las figuras que los forman nos cuentan, en ocasiones, la historia de su linaje. Se caracterizan por su forma geométrica, que puede ser oval, de cuadrilátero con los ángulos inferiores redondeados o en ojiva, entre otros.

Para leer un escudo se mira de izquierda a derecha y de arriba a abajo. Si es un escudo matrimonial, en la parte izquierda se describen las armas del esposo y en la de la derecha las de la esposa.

En el patio de armas

Patio de armas, cuadrado con figura uniendo los puntos medios de sus lados

El castillo tiene un patio cuadrado que antiguamente estaba custodiado por una persona vigilante.

Cansada de hacer siempre el mismo recorrido alrededor del patio, decidió moverse desde el punto medio de cada lado.

  • ¿Qué figura forma esta nueva caminata?
  • ¿Crees que es correcto decir que "camina en diagonal"?
  • ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado?
  • Si el patio fuese rectangular, ¿qué figura haría el recorrido entre los puntos medios de cada lado?

A veces el lenguaje cotidiano no coincide con el matemático, mira en un diccionario todos los significados de la palabra diagonal.

Adornando el patio

Banderines para el torneo


Banderines Feria Medieval de Monforte de Lemos

Anualmente se celebra un torneo al que acuden muchos visitantes. El señor del castillo te encarga hacer banderines para adornar el patio utilizando solo figuras con forma de cuadriláteros.

¿Cómo los harías?

Elige una de las cuatro actividades siguientes y te daremos ideas diferentes.

Actividad A: pensando las formas

Usa la plantilla para dibujar cuadriláteros distintos y después trata de responder a las siguientes preguntas:

  1. ¿Tiene alguno de ellos los lados paralelos dos a dos?
  2. ¿Y solo un par de lados paralelos?
  3. ¿Encuentras alguna regularidad en sus lados no paralelos?
  4. ¿Y en sus ángulos?
  5. ¿Es posible obtener un cuadrilátero sin lados paralelos?

Si no sabes responder ve a la ayuda.

  

Hecho con GeoGebra®

    Actividad B: dardo y cometa

    Dibujo con instrucciones para plegar y recortar un cometa

    Para la feria medieval tienes que recortar banderines con forma de cometas y dardos.

    Vas a investigar cómo pasar de uno a otro de forma sencilla.

    Necesitarás un folio de papel y unas tijeras.

    1. Coge el folio y dóblalo por la mitad plegando por el lado más corto.
    2. Ahora dobla las cuatro esquinas hacia adentro haciéndolas coincidir por el punto medio, tal como se ve en la imagen.
    3. Recorta por los pliegues y obtendrás dos cometas iguales.

    El dardo:

    1. Toma una de los cometas y dobla hacia adentro el vértice de los lados menores.
    2. Recorta el pliegue resultante para formar el dardo. ¿Qué figura forma la parte que has recortado?

    Compara ambas figuras:

    1. ¿Cómo son sus lados?
    2. ¿Cómo son sus ángulos?
    3. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de cada una de ellas?
    4. ¿Cómo tendría que ser la cometa para que la parte recortada formase un cuadrado?

    Pulsa en el botón reproducir para visualizar la construcción de la cometa y el dardo paso a paso.

    Hecho con GeoGebra®

    Actividad C: banderines con forma de trapecio

    Banderines con forma triangular Feria Medieval Monforte

    Cansado de banderines triangulares el señor del castillo quiere diseñar un banderín con forma de trapecio.

    1. ¿Puedes ayudarle? ¿Qué tipo de trapecio elegirías?
    2. Diseña una tira de banderines para rodear el patio.
    3. ¿Qué lado del trapecio es el idóneo para poner en la cuerda? ¿Por qué?

    Actividad D: colgando los banderines

     Patio de armas con forma rectangular y con figura formada por la unión de los puntos medios de sus lados

    Imagina que tienes una tira de banderines para rodear el patio.

    ¿Serviría la misma tira si en lugar de rodearlo la cuelgas desde el punto medio de cada lado como se ve en la figura?

    Dibuja en un folio un rectángulo y une los puntos medios de sus lados, tal y como se hace en la figura de la imagen.

    Investiga qué relación hay entre el área de la figura del rectángulo inicial y la nueva sin hacer cálculos.

    Más formas de banderines

    Banderines de la Feria Medieval de Monforte

    Inspírate en esta foto para crear banderines con distintas formas.

    Observa las figuras que aparecen en él y cómo se utilizan para hacer la composición.

    Recuerda que una línea poligonal cerrada formada por cuatro segmentos da lugar a un cuadrilátero.

    Algunas figuras se pueden construir utilizando otras mediante plegado o recorte.

    Ayuda: Tipos de cuadriláteros

    Clasificación de cuadriláteros

    También son cuadriláteros:

    Dardo y cometa

    Cometa, cuadrilátero convexo que tiene dos pares de lados contiguos iguales y dardo, una cometa cóncava.

    Encerrados en la torre

    El nombre de las torres de los pazos y de los castillos se indica por la forma de su planta, por eso es importante saber el nombre de la figura que forma su base.

    Uniendo varios segmentos mediante líneas poligonales cerradas obtenemos los polígonos que, como recordarás, se nombran por el número de lados (penta, hexa, hepta, octo…).

    Reflexiona

    Te proponemos que recuerdes otras propiedades de los polígonos.

    • ¿Tienen siempre todos los lados la misma longitud?
    • ¿Tienen siempre todos los ángulos la misma amplitud?
    • ¿Son todos sus ángulos con forma convexa o pueden tener alguno cóncavo?

    Usa el recurso de GeoGebra del siguiente apartado, "Repasa polígonos", para investigar estas otras características y elabora un documento que incluya todas las propiedades que observes.

    El pendón

    Trama puntos con la silueta del castillo

    El señor del pazo quiere diseñar un pendón con forma de cuadrilátero para colgar en la torre.

    Teniendo en cuenta que la torre está formada por una trama 3x3, averigua cuantos diseños distintos se pueden realizar.

    Recuerda las normas:

    1) Debe ser un cuadrilátero (vale tanto cóncavo como convexo).

    2) Debes construir el cuadrilátero tomando como vértices alguno de los puntos de la trama 3x3, pero también puedes coger otras tramas menores que estén contenidas en ella.

    Pista

    Te damos un ejemplo y te indicamos que puedes construir hasta 16 pendones diferentes. Las dos figuras de la derecha se contabilizan como una sola.

    Ejemplo de diseño del pendón de la torre

    Trama de puntos con papel sobre ella para ejemplificar cómo se calca

    Mueve los vértices del cuadrilátero sobre la malla 3x3 y descubre los posibles diseños de pendón.

    https://www.geogebra.org/m/a2au2gk2 (Ventana nueva)

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    Conectado ángulos y pendones

    Medidor de ángulos en el pié de la escalera de un columpio

    Como sabes, algunos cuadriláteros son también paralelogramos. En ellos, sus lados son paralelos dos a dos y sus ángulos son iguales dos a dos.

    Aprovechando esta propiedad se construyen mecanismos como el de la foto, que miden varios ángulos a la vez.

    El cuadrilátero apoyado en el suelo traslada al medidor de ángulos la inclinación de la escalera del columpio: sesenta grados.

    Recuerda que para medir ángulos se coloca su vértice en el centro de una circunferencia (o una semicircunferencia) que está dividida en 360 partes (aquí 180).

    Uno de los lados del ángulo se hace coincidir con el punto 0 y el otro lado marca el valor de su medida.

    En la foto hay varias escalas que tienen el 0 colocado en puntos diferentes, por eso aparecen tres medidas distintas:

    30º, 60º y 120º.

    Observa que se están midiendo tres ángulos relacionados entre sí. Tienen un lado común y el otro lado está donde empezamos a contar, donde aparece el 0º.

    • ¿Recuerdas el nombre de estos ángulos? (podrás repasarlos al final de esta página).
    • ¿Recuerdas cuánto suman los cuatro ángulos de un cuadrilátero? ¿Y los tres ángulos de un triángulo?

    De base 60 a base 10

    Los ángulos se miden en base 60 (sistema sexagesimal), igual que las horas (una hora tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos). Esto complica las operaciones y su escritura. Para diferenciar los minutos y segundos de los ángulos se indican con el símbolo prima ' y si son de tiempo se indican como min y s según el Sistema Internacional.

    En la mayoría de las calculadoras científicas disponemos de una tecla que permite hacer cambios de unidades entre la base 60 y la base 10.

    También hace cálculos en base 60. Es la tecla marcada en azul en la imagen.

    Calculadora con tecla del sistema sexagesimal

    Basta introducir la cantidad (pulsar la tecla para grados, de nuevo pulsar para minutos y de nuevo para segundos).

    Luego hay que presionar la tecla = dos veces.

    A la derecha hay un ejemplo:

    Una hora y treinta minutos en base sesenta es una hora y media en base 10.

    Recuerda que para poder hacer este cambio en la mayoría de los modelos es preciso pulsar la tecla "=" una vez introducido el número, tal como se ve en el ejemplo.

    En todo caso esto puede variar según el modelo de calculadora.

    Ejemplo de cambio de sexagesimal a base 10 con la calculadora

    Los ángulos, igual que las horas, tienen un valor fijo a partir del cual se reinicia el recuento.

    Así las 13 horas se pueden indicar diciendo que es la 1 p. m. (post meridiem).

    Para los ángulos, a partir de 360, se dice que hemos dado una vuelta de circunferencia.

    361º es una vuelta y un grado.

    Practica ángulos en triángulos

    Calcula el ángulo de los pendones triangulares del applet GeoGebra.

    Puedes ayudarte del transportador para medir algunos ángulos (45º, 90º, 135º) pero además necesitarás operar ángulos.

    Los ángulos vienen dados en sistema sexagesimal. Utiliza la tecla de la calculadora  tecla de la calculadora de grados sexagesimales

    https://www.geogebra.org/m/kumabzpg (Ventana nueva)

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    Practica ángulos en cuadriláteros

    Averigua el ángulo que se indica en los pendones cuadrangulares del applet GeoGebra y escríbelo usando el teclado. Utiliza notación decimal y aproxima el resultado a las centésimas.

    Puedes borrar el número introducido por teclado clicando en la cruz.

    Puntuación: cada acierto suma dos puntos y cada error resta 1 punto. Puntuación máxima 10.

    https://www.geogebra.org/m/kvbdyrmu (Ventana nueva)

    (Guardar la puntuación)
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    Lista de cotejo de cuadriláteros

    Completa la lista de cotejo marcando las casillas al realizar las actividades correspondientes.

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