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3.1. Al paso y al peso

Pasos y leguas

Leguario de Garabolos en Lugo

¿Sabías que una legua es la distancia que recorre una persona a pie o a caballo en una hora?

Esta medida utilizada en nuestras carreteras fue anterior a los kilómetros actuales.

Las señales que indicaban la distancia en leguas a un lugar se llamaban leguarios. Aún queda alguno en nuestras carreteras, como el de la foto que está en Lugo. En la inscripción se lee "A LA CORUÑA 14".

  • ¿Cuántas horas tardaríamos en llegar a Coruña caminando?
  • Si caminamos 5 horas al día, ¿cuántos días tardaríamos en llegar?
  • ¿Te parece útil este tipo de medidas? ¿Qué ventajas y qué inconvenientes ves en esta forma de medir la distancia usando el tiempo?

La unificación de medidas e introducción del SMD en España fue en la segunda mitad del siglo XIX.

Actualmente tenemos otro tipo de señales que indican el punto en el que estamos. Entenderlas es importante para saber nuestra localización.

Lee de nuevo que es un leguario y sabrás el resultado.

Hitos

A Santiago voy

Mojón del camino de Santiago

Observa la foto y responde:

  1. ¿A qué magnitud se refiere la cantidad que aparece en la placa del mojón?
  2. ¿Qué unidad de medida se está utilizando?
  3. ¿Qué representa esa cantidad?
  4. ¿Cómo se expresaría esta cantidad en metros?
  5. Si ponemos la coma a la derecha del 8, ¿qué unidad de medida tendríamos que poner para expresar correctamente la nueva cantidad?
  6. Si una persona avanza de media 25 km diarios, ¿cuántos días tardará en llegar a Santiago?

Un hito en carretera

Mojón de la N-120a tipo miramétrico. Indica el km 540

Observa la foto y responde:

  1. ¿Qué representan los números que aparecen en la señal?
  2. ¿Cómo se llama este hito?
  3. ¿Cómo se expresaría esta cantidad en miriámetros?
  4. ¿Por qué el número que aparece bajo la abreviatura km en este tipo de señales termina siempre en cero?
  5. ¿Cuántas señales como esta se colocan en una distancia de 100 kilómetros contando la primera y la última?

Un hito ferroviario

Hito ferroviario tipo hectométrico. Indica los valores 395 y debajo el 4

Observa la foto y responde:

  1. ¿Cómo se llama este hito ferroviario?
  2. ¿Qué representan las cantidades que aparecen en él?
  3. ¿Cómo se expresaría esta cantidad en metros?
  4. ¿Cómo se expresaría esta cantidad en kilómetros?
  5. ¿Cuántos hitos como este tenemos que poner en una distancia de un kilómetro?

Pista: si no conoces esta señal puedes hacer una búsqueda por imágenes en internet para obtener información sobre ella.

El km0 de Galicia

Placa del km0 de Galicia situada en Lalín

¿Sabías que el kilómetro cero de Galicia está en Lalín?

Descubre dos de los matemáticos estudiosos de las medidas y los mapas que ayudaron a crear el sistema métrico decimal y a diseñar el mapa de Galicia.

José Rodríguez González

Busto de José Rodríguez González


José Rodríguez González fue un matemático gallego nacido en Santa María de Bermés (Lalín) en 1970, que colaboró en la medición del arco meridiano de París, medición fundamental para establecer como unidad de medida de longitud el metro (a partir del cual surgió el futuro SMD).

Otra contribución fue fijar en Lalín el kilómetro cero de Galicia. Este punto no es el centro geográfico gallego, ya que en la actualidad se considera en otro lugar. ¿Sabes dónde? Investígalo.

Domingo Fontán Rodríguez

Domingo Fontán nació en Briallos (Pontevedra) en 1788, fue el autor del primer mapa topográfico de Galicia. En este trabajo invirtió 17 años y se publicó con el nombre de "Carta Geométrica".

Durante el curso de 1813-1814 José Rodríguez González fue su profesor de matemáticas y él fue quien le inspiró la idea de realizar la triangulación geodésica de Galicia para levantar su carta geométrica. El trabajo fue muy complejo y le dedicó gran  parte de su vida, ten en cuenta que en aquel momento aún no se había instaurado en España el SMD (sería en el siglo XX, en 1949).

El mapa se hizo por triangulación, tomando como vértices las cima de los montes. Actualmente puedes encontrar en lugares muy altos (miradores, cerca de torres) señales oficiales como la que está en la foto inferior, que marcan estos vértices utilizados por el IGN (Instituto Geográfico Nacional) para hacer los mapas oficiales.

Infórmate más sobre este geógrafo ilustre en este enlace.

Vértice geodésico en Pena Corneira (Ourense)

Manteniendo el pazo

Libros del Pazo Molinos de Antero

Los señores de los pazos gallegos tenían que hacer muchos cálculos sobre el mantenimiento de sus posesiones.

En general vivían de la agricultura, pero algunos eran recaudadores de impuestos como el del Pazo Molinos de Antero de Monforte al que pertenece la foto.

Entre sus libros de cuentas hay muchos datos interesantes, aunque están escritos con las unidades de moneda y de medidas de la época, ¿sabes calcular su valor en la actualidad?

Para responder a esta pregunta hay que conocer la equivalencia entre las unidades antiguas y las actuales.

Veamos un ejemplo.

Fanega y ferrado


Cajón para medir el ferrado (Láncara)

Antiguamente en Galicia el grano se medía en ferrados y también en fanegas.

La fanega es mayor que el ferrado, una fanega equivale a 5 ferrados.

Este valor puede ser diferente según la zona.

En la foto puedes ver el cajón que se utiliza aún hoy para medir ferrados.

Dos de las caras laterales del cajón son trapecios y las otras dos rectángulos, así como su base que, también es un rectángulo. Se le daba esta forma para poder descargar mejor el grano.

¿Sabrías decir qué nombre recibe este tipo de trapecio?

Fanega y ferrado son medidas versátiles porque se usan indistintamente como medida de superficie y de capacidad. A veces también de peso.

El motivo es que se identificaba la cantidad de grano que cabe en el cajón con la superficie de terreno que se siembra con ese grano.

Se prefería usar capacidad a peso porque, en el segundo, es más fácil cometer fraudes, por ejemplo, usando semillas que estuviesen húmedas o manipulando la balanza.

Midiendo el poder

El poder de los hidalgos se medía por las fanegas que acumulaban, ya que la agricultura y ganadería eran su mayor fuente de supervivencia.

Cuentan los documentos sobre la vida en los pazos gallegos que el pazo de Oca producía 400 fanegas de cereales. ¿Sabrías decir cuántos kilos son?

Aunque las medidas antiguas no tenían el mismo valor en todas las zonas vamos a dar un valor aproximado para resolver esta cuestión: 1 fanega equivale aproximadamente a 50 litros. Si pesamos este cereal de media pueden ser 50 kg.

Una razón de peso

Esta equivalencia podemos expresarla mediante una razón que llamaremos factor de conversión:

\(\dfrac{1\,fanega}{50\,kg}\)

También podemos comparar usando la forma inversa:

\(\dfrac{50\,kg}{1\,fanega}\)

El cambio de peso

El cambio se hace multiplicando siempre la cantidad que tenemos por el factor de conversión. La elección de uno o de otro se hace buscando que las unidades que queremos cambiar se simplifiquen, tal como se ve en esta expresión:

\(400\,fanegas · \dfrac{50\,kg}{1\,fanega}= 20\,000\,kilogramos\)

El cambio en cadena

La ventaja de usar los factores de conversión es que permite cambios encadenados, varias unidades en una sola operación.

El más habitual es el cambio de magnitudes que combinan longitud y tiempo, como ocurre con el paso de kilómetros por hora a metros por segundo.

Veamos un ejemplo:

Si un caballo al paso camina a una velocidad de 90 metros por minuto y quieres dar esta velocidad en kilómetros por hora utilizarás dos razones, la de longitud, que compara kilómetros con metros, y la de tiempo, que compara minutos con horas.

\(\dfrac{1\,km}{1000\,m}\) y también \(\dfrac{60\,min}{1\,h}\)

\(\dfrac{90\,m}{1\,min}·\dfrac{1\,km}{1000\,m}·\dfrac{60\,min}{1\,h}=\dfrac{90·60\,km}{1000\,h}=5,4\dfrac{km}{h}\)

El cambio en superficies

Acabas de ver  que existen distintas razones para cambiar unidades de medida, estas se construyen a partir de las equivalencias que se repasaron en la fase anterior, en el apartado 2.3.

Así, la razón de cambio entre hectáreas y metros cuadrados es \( \dfrac{1\,ha}{10\,000\,m^2}\) o su inversa \( \dfrac{10\,000\,m^2}{1\,ha}\).

Ejemplo 1:

¿Cuántas hectáreas son 1500 metros cuadrados?

\( 1500\,m^2·\dfrac{1\,ha}{10\,000\,m^2}=\dfrac{1500\,m^2·1\,ha}{10\,000\,m^2}=0,15\,ha\)

Ejemplo 2:

¿Cuántos metros cuadrados son 35 hectáreas?

\( 35\,ha·\dfrac{10\,000\,m^2}{1\,ha}=\dfrac{35\,ha·10\,000\,m^2}{1\,ha}=350\,000\,m^2\)

Observa que, en ambos casos, el principal objetivo del factor de conversión es ayudarnos a reconocer si el cambio se hace multiplicando o dividiendo por la unidad seguida de ceros.

10 000 es lo mismo que 10 elevado a 4.

Practica con razones

La siguiente actividad te permitirá obtener cambios entre unidades de distintas magnitudes.

Reflexiona qué razón se utiliza en cada uno de ellos.

Observa la importancia de conocer las equivalencias entre unidades.

https://www.geogebra.org/m/n6stwzvc (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/n6stwzvc,Relaciona%20unidades%20dentro%20de%20un%20sistema%20de%20medidas,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: GeoGebra Content Team

La finca de Soutomaior

Pregunta

La finca del pazo de Soutomaior tiene una extensión de 25 hectáreas, que en metros cuadrados es:

Sugerencia

Usa la equivalencia entre m2 y ha

Respuestas

250 000 m2

25 000 m2

2 500 m2

Retroalimentación

Pregunta

El jardín del pazo de Soutomaior tiene 15 700 m2 que en ha es:

Sugerencia

Usa la equivalencia entre ha y m2

Respuestas

157 ha

1,57 ha

15,7 ha

Retroalimentación

El hórreo del Pazo das Edreiras

Plano del Hórreo del pazo das Edreiras con medidas

La riqueza de los pazos se ve en el tamaño de sus hórreos y en las construcciones adjetivas.

Algunos tienen hórreo y palomar, como ocurre con el Pazo das Edreiras del que se ha tomado este plano.

En el dibujo están sus medidas, también descritas más abajo.

Alzado principal: 6 m de largo y 1,73 m de alto. Tiene una puerta de 62 cm de ancho y 135 cm de alto.

  1. Analiza por qué algunas medidas están en metros y otras en centímetros.
  2. ¿Podemos sumar o restar metros y centímetros?
  3. ¿Qué opinas de la altura de la puerta? ¿Es cómoda?
  4. ¿Cuánto mide esta altura en metros?

Convertir para calcular

En la imagen del hórreo hay medidas que están indicadas en distintas unidades.

Como ya sabes, antes de hacer cálculos entre ellas es necesario unificarlas, convertir metros a centímetros o centímetros a metros.

La calculadora nos da la razón

Calculadora con menú de conversión de unidades

Cuando se trata de un cambio sencillo, porque son dos unidades de medida del sistema métrico decimal, no necesitamos usar la calculadora, pero en ocasiones la cuenta se complica porque el cambio es entre dos sistemas distintos, como el decimal y el anglosajón.

Por eso algunas calculadoras científicas tienen un menú llamado "conversión" para el cambio de unidades (en la imagen sobre la tecla del 8).

La calculadora nos puede ayudar a comprender cómo se hacen los cambios y, además, nos puede dar la razón para hacerlos (factor de conversión) como se ve en este ejemplo: una pulgada (in) son 2,54 centímetros (cm).

Conversión en ordenador

Ejmplo de conversión de la calculadora Qalculate!

Algunos programas de ordenador también incluyen un menú para conversión de unidades, con un sistema similar al de las calculadoras físicas.

En la imagen puedes ver la calculadora "Qalculate!" con un ejemplo para cambiar de hectáreas a kilómetros cuadrados.

  • ¿Cuál sería el factor de conversión en este caso?
  • ¿Qué escribirías en el programa para averiguarlo?

Revisa tu aprendizaje sobre medidas

Completa la lista de cotejo marcando las casillas al realizar las actividades correspondientes.

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