Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.
Por ejemplo, si nuestro barco navega a velocidad constante, el número de horas que estamos navegando y la distancia que recorremos son directamente proporcionales. Si navegamos el doble de horas, recorreremos el doble de distancia.
Fíjate, no siempre las magnitudes son directamente proporcionales, entre la velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer una distancia también hay una relación, pero no es de proporcionalidad directa, porque si el barco va al doble de velocidad, es decir, más rápido, no tarda el doble de tiempo.
Como ya vimos, si dos magnitudes son directamente proporcionales, la división de las cantidades correspondientes no varía, y a ese valor se le llama constante de proporcionalidad directa.
Sigue el ejemplo
Si nuestro barco navega a velocidad constante y hemos recorrido 160 kilómetros en 2 horas, como las magnitudes son directamente proporcionales, tenemos que la constante de proporcionalidad directa es \(\displaystyle \frac{160}{2} = 80\).
Sabiendo la constante de proporcionalidad directa, podemos completar tablas que relacionan las dos variables. Porque para cada par de números, cuando hagamos el cociente, tiene que dar ese valor.
| Distancia (km) | 80 | 160 | 240 | 280 | 400 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (h) | 1 | 2 | 3 | 3,5 | 5 |
Se puede comprobar que con todos los pares de valores, al hacer el cociente da lo mismo, 80. Así si quisiésemos saber cuántos kilómetros recorrió después de una hora y media, sería \(\displaystyle \frac{x}{1,5} = 80 \implies x = 80 \cdot 1,5 = 120\) kilómetros.
O si queremos saber cuántas horas han pasado desde que empezó a navegar si lleva recorridos 300 kilómetros, sería \(\displaystyle \frac{300}{x} = 80 \implies x = \frac{300}{80} = 3,75\) horas.
¿Quién divide a quién?
Si alguno de vosotros se está preguntando, ¿cómo sé qué magnitud es la que va en el numerador y cuál en el denominador para calcular la constante de proporcionalidad directa? no os preocupéis, no pasa nada por hacerlo "al revés". Lo único que tenemos que tener siempre bien claro que magnitud usamos para el numerador y cuál para el denominador y no intercambiarlas a mitad del problema.
| Tiempo (h) | 1 | 2 | 3 | 3,5 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Distancia (km) | 80 | 160 | 240 | 280 | 400 |
Se puede comprobar que con todos los pares de valores, al hacer el cociente da lo mismo, \(\displaystyle \frac{1}{80} = 0,0125\). Así si quisiésemos saber cuántos kilómetros recorrió después de una hora y media, sería \(\displaystyle \frac{1,5}{x} = 0,0125 \implies x = \frac{1,5}{0,0125} = 120\) kilómetros.
O si queremos saber cuántas horas han pasado desde que empezó a navegar si lleva recorridos 300 kilómetros, sería \(\displaystyle \frac{x}{300} = 0,0125 \implies x = 300 \cdot 0,0125 = 3,75\) horas.
Las algas son una rica fuente de nutrientes. Se venden deshidratadas y antes de consumirlas se ponen en agua para volver a hidratarlas. Cuando se hace esto, el peso aumenta.
Paseando por la playa de Barra, Denís se encuentra una botella, al abrirla se encuentra con nada más y nada menos que un mapa del pirata gallego Benito Soto Aboal. Indica que es de la Isla Pancha, al norte de Galicia. Tiene una X marcada en un punto que parece aleatorio. ¿Habrá ahí un tesoro? ¿Cómo calcular exactamente dónde está ese punto X?
.png){kind=link}
