Funciones lineales
Ahora que ya sabemos cómo:
- Estudiar si dos magnitudes tienen una relación de proporcionalidad directa.
- Representar puntos en el plano.
- Hacer tablas de datos.
- Representar gráficas.
- Hallar expresiones algebraicas de dos variables.
Vamos a relacionarlo todo a través de un tipo de funciones que se llaman funciones lineales o funciones de proporcionalidad directa.
En apartado anteriores...
Tablas
En los ejercicios anteriores, vimos cómo los datos de una función se pueden representar en tablas. Si nos fijamos bien en esas tablas y las analizamos, veremos que todas ellas tienen una característica común: representan funciones de proporcionalidad directa. Por tanto, podemos conocer su constante de proporcionalidad directa.
Veamos, como ejemplo, la tabla del precio de la sardina:
| x (Kg) | y (€) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 0,5 | 4,5 |
| 1 | 9 |
| 1,5 | 13,5 |
| 2 | 18 |
| 2,5 | 22,5 |
| 3 | 27 |
| 3,5 | 31,5 |
| 4 | 36 |
| 4,5 | 40,5 |
| 5 | 45 |
Si dividimos cada pareja de valores, nos dará siempre la misma cantidad. En este caso:
\(\displaystyle\frac{4,5}{0,5}=\displaystyle\frac{9}{1}=\displaystyle\frac{13,5}{1,4}=\cdot\cdot\cdot=9\)
es decir, 9 sería la constante de proporcionalidad.
Gráficas
De todas las gráficas que hicimos hasta ahora, ¿hay algo que te llame la atención?
Efectivamente, la forma de las gráficas son todas rectas ¡que pasan por el origen!
Expresión algebraica
Volvamos a los ejemplos anteriores donde hallábamos la expresión algebraica entre dos magnitudes:
- En el problema del Kayak, la fórmula era: y = 6x
- En la de salar el pescado era: y = 250x
Si repasas las de tus ejercicios verás que todas tienen la misma forma:
y = mx
La pendiente, m
La pendiente de una cuesta es la inclinación que tiene, ¿no? Pues, la pendiente de una recta no es más que la inclinación que tiene.
Como las gráficas de una función de proporcionalidad directa son rectas, tendrán una inclinación, que se llama pendiente y que corresponde con el parámetro "m" de la expresión \(y=mx\).
A su vez, la pendiente también coincide con la constante de proporcionalidad directa que se calcula dividiendo los valores de la variable dependiente entre los valores de la variable independiente:
\(m=\displaystyle\frac{y}{x}\)
En resumen...
Recuerda lo importante:
- Una función de proporcionalidad directa es aquella en la que sus magnitudes tienen una relación directamente proporcional.
- La gráfica de una función de proporcionalidad directa es siempre una recta que pasa por el orígen.
- Todas las funciones de proporcionalidad directa tienen la expresión: \(y=mx\).
- El parámetro "m", indica la pendiente de la recta y coincide con la constante de proporcionalidad directa cuando hallamos la razón entre la variable dependiente, "y", y la variable independiente, "x". Se calcula como: \(m=\displaystyle\frac{y}{x}\).
