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Plano cartesiano

El plano

Si tenemos que explicarle a Roque cómo llegar de donde se encuentra a la biblioteca, y tenemos un plano como este, le indicaríamos:

"tienes que desplazarte hasta el cuadrado 13 al este y a continuación 5 cuadrados al sur".

Como él tiene las mismas referencias en el plano que nosotros, sería capaz de llegar a la librería.

En la imagen hay una brújula en la esquina superior izquierda y después sobre una cuadrícula el camino que debe recorrer un chico, dibujado con un pictograma hasta llegar a la biblioteca. Debe desplazarse 13 cuadrados al este y 5 cuadrados al sur

Regreso a casa

Imaginemos que Mariña tiene un plano como el de la foto, en el que cada cuadrícula representan 10 metros en la realidad. Es decir, si tenemos media cuadrícula serían 5 metros. Y necesita explicarle a sus amigos cómo deben hacer para llegar del instituto a su casa, pasando por el quiosco y el parque. Les podría decir: 

"Para llegar del instituto a mi casa tenéis que caminar 65 metros al este, después de seguir 15 metros al norte encontráis el quiosco, salís por la entrada de la izquierda y tenéis que andar 45 metros al oeste y 5 metros al norte y os encontráis con el parque. Continuáis  25 metros al este y 15 metros al norte y ya encontrareis mi casa"

Camino marcado sobre un planno con unos ejes de coordenadas y una cuadrículo, con una brújula en la esquina superior derecha. El camino parte del instituto, tiene que recorrer 6 cuadrículas y media y una cuadrícula y media hacia el norte hasta llegar al quiosco, desde aquí saliendo por la izquierda tiene que recorrer 4 cuadrículas y media al oeste y 5 al norte hasta llegar al parque, a continuación dos cuadrículas y media al este y una y media al norte hasta llegar al dibujoj de la casa.

Conclusión

Es lo mismo que pasa si queremos describir un objeto, como acabamos de ver con los dibujos, es decir, si no tenemos una referencia común, no nos entenderemos.

Por tanto, es muy importante tener unas referencias comunes y claras. Siempre que damos unas indicaciones referidas a un plano tenemos que dar el sentido de la marcha y la distancia a recorrer.

¡Ahora te toca a ti!

Describe los recorridos que deben realizar los protagonistas de las imágenes:

De camino a la playa

¿Cuál es el recorrido que tiene que hacer Nerea para llegar hasta la playa?

Recorrido sobre una cuadrícula con una brújula en la esquina superior izquierda para describir el camino que debe hacer el pictograma de la chica hasta llegar al pictograma de la playa.

De vuelta a casa

¿Cuál será el camino de Valentín hasta casa, pasando previamente por la zona de las redeiras y visitando la barca de su padre?

Sobre una cuadrícula con unos ejes de coordenadas marcados y una brújula en la esquina superior izquierda se muestra el camino que debe recorrer el pictograma del chico para llegar a la casa pasando por las redes y el barco.

El plano cartesiano

Las coordenadas no solo se usan en matemáticas. Cuando necesitamos orientarnos en un mapa utilizamos un tipo de coordenadas, las coordenadas geográficas.

Sistema de coordenadas geográficas

Captura de pantalla de Google maps en el que se muestra donde está ubicado Santiago de Compostela y cuáles son sus coordenadas geográficas

En los mapas tenemos un sistema de referencia que es el sistema de coordenadas geográficas, utiliza los grados de latitud y longitud, y a veces la altitud de un punto sobre la superficie terrestre.

Así por ejemplo, las coordenadas de Santiago de Compostela, la capital de Galicia, son 42°52'49.9'' N 8°32.741' O.

Las coordenadas de un punto determinado son muy fáciles de encontrar, ya que en Internet tenemos muchas aplicaciones que nos las indican directamente.

 El sistema más popular se denomina WGS 84.

Para practicar con este tipo de coordenadas, hay una actividad de GeoGebra en el punto 1.1.


En Matemáticas el sistema de referencia que usamos se denomina sistema de referencia cartesiano.

El que nosotros veremos a continuación será en dos dimensiones, pero podemos verlo en tres o más dimensiones.

Coordenadas cartesianas

Dibujo de René Descartes

El sistema cartesiano es el sistema que nos permite localizar un punto en el espacio. Debe su nombre al filósofo y matemático René Descartes (1956-1650).

Cuando el sistema de referencia lo usamos en el plano bidimensional lo llamamos plano cartesiano.

El sistema cartesiano contribuyó al desarrollo de la matemática moderna, pues permite vincular el Álgebra y la Geometría.

Las coordenadas cartesianas nos sirven, por tanto, para localizar un punto en el espacio. En este curso, vamos a trabajar en el plano cartesiano, por lo tanto, solo tendremos dos coordenadas.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas graduadas perpendiculares, denominadas ejes de coordenadas. 

El eje horizontal es el eje de abscisas o eje de las X, y el eje vertical es el eje de ordenadas o eje de las Y. El punto en el que se cortan es el origen de coordenadas, O.

Para saber las coordenadas de un punto (que nombraremos con una letra mayúscula: A, B, C, P, Q, R...) tenemos que tener dos coordenadas: (abscisa, ordenada)

Por ejemplo, si tenemos el punto P(3, 2) estará a distancia 3 del eje de ordenadas y a distancia 2 del eje de abcisas. Ejes de coordenadas con cuadrícula en el que está marcado el punto (3, 2), y la distancia del eje de abscisas al punto, y del eje de ordenadas al punto

Cuadrantes

El plano cartesiano con el eje de abscisas y el de ordenadas queda dividido en cuatro partes, que son los cuadrantes. 

Se numeran de en sentido contrario a las agujas del reloj, siendo el 1º el que se encuentra en la parte superior derecha.

Primer cuadrante

Las coordenadas X e Y son números positivos.

X es positiva porque se encuentra a la derecha del origen.

Y es positiva porque está por encima del origen.

De forma abreviada podemos escribir (+, +)

Segundo cuadrante

X está a la izquierda del origen, X es negativa.

Y es positiva porque está por encima del origen.

Las coordenadas serán (-, +)

Tercer cuadrante

Ambas coordenadas son negativas.

X está a la izquierda del origen.

Y está por debajo del origen.

Podemos escribir (-, -).

Cuarto cuadrante

La abscisa, coordenada de la X, está a la derecha del origen, por tanto es positiva.

La ordenada es negativa, porque se encuentra por debajo del origen.

Por tanto, (+, -).

Podemos ver en el dibujo los cuatro cuadrantes y los signos de sus coordenadas:

Plano cartesiano dividido por los ejes de coordenadas en los cuatro cuadrantes, con el eje de abscisas y ordenadas indicado, así como el origen de coordenadas y los cuadrantes, 1º en la parte superior derecha, 2º en la parte superior izquierda, tercero en la parte inferior izquierda y cuarto en la parte inferior izquierda

¿En dónde se encuentran?

¿Dónde situarías las siguientes coordenadas?

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Observa los puntos que acabas de situar en los diferentes cuadrantes. ¿Podrías extraer alguna conclusión de sus coordenadas?

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Coordenadas

Los puntos que se encuentran en el primer cuadrante tienen .

Si un punto está en el segundo cuadrante tiene .

En el tercer cuadrante .

Un punto situado en el cuarto cuadrante tendrá .

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