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3.6. La derrota

 

Glosario

Carta náutica

Cuadro con carta náutica del Museo do Mar de Burela

Definición:

Representación en un mapa de las aguas navegables y las zonas terrestres cercanas.

Ejemplo:

La imagen presenta una carta náutica desde el cabo Estaca de Bares al Cabo de Peñas.

Derrotero

Libro de navegación

Definición:

Publicación con instrucciones para la navegación (mapas, rumbos...).

Ejemplo:

Los barcos suelen llevar un libro de navegación donde apuntan los rumbos que forman parte del derrotero que están siguiendo.

Pantalán

Pantalán

Definición:

Muelle estrecho o pasarela flotante que se adentra en el mar y se utiliza como embarcadero para barcos de tonelaje pequeño. Fuente: wikipedia.

Ejemplo:

En la imagen se ve un pantalán de un puerto hecho de madera.

Derroteros

Puerto de San Adrián, Vilaboa

¿Has oído la expresión "no te vayas por esos derroteros"?

Significa que no te desvíes del camino correcto.

Un derrotero es un conjunto de datos que marcan el camino para llegar al lugar.

Es sinónimo de rumbo y de trayecto.

Puede emplearse en tierra y en mar.

Si se usa en el mar es un tipo de carta náutica.

Nuestra propuesta es que sigas bien el derrotero para atracar en cualquier puerto gallego.

La foto es del puerto de San Adrián, en Vilaboa, pero hay muchos más.

Búscalos en este visor de Puertos de Galicia.

Ordenando amarres

Simulación de barcos amarrados en un puerto En una localidad costera se está reorganizando el puerto deportivo.

Ante la gran demanda de plazas se decide dejar 20 para alquilar y el resto se pondrán a la venta. 

Para señalizar las plazas se colocarán letreros en los pantalanes mostrando el número de plazas que hay reservadas.

Se utilizará el mismo letrero en todos los pantalanes y solo se colocará en aquellos que tengan plazas de alquiler.

  1. ¿Cuántas plazas deberá mostrar el letrero?¿Cuántos letreros serán necesarios en total?
  2. ¿Y si en lugar de 20 fuesen 9?
  3. ¿Y si fuesen 7 plazas?

Describe todas las posibles soluciones.

Ordenando amarres. Soluciones:

Solución 1: ordenando 20 plazas

Para visualizar las posibles soluciones clica en la casilla "posibilidades" y en los botones con flechas.

https://www.geogebra.org/m/msuv8wke (Ventana nueva)

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Solución

Para 20 plazas existen 6 posibilidades:

  • 20 plazas en 1 fila (20 = 20 · 1)
  • 10 plazas en 2 filas (20 = 10 · 2)
  • 5 plazas  en 4 filas (20 = 5 · 4 )
  • 4 plazas  en 5 filas (20 = 4 · 5)
  • 2 plazas  en 10 filas (20 = 2 · 10)
  • 1 plaza  en 20 filas (20 = 1 · 20)

Observa que las soluciones anteriores están formadas por dos números que multiplicados dan 20.

Se trata de descomponer el 20 en dos factores (factorizar 20).

20, 10, 5, 4, 2 y 1 son también divisores de 20 ya que si lo dividimos entre cada uno de ellos el resto de la división es 0.

20 : 20 = 1

20 : 10 = 2

20 : 5 = 4

20 : 4 = 5

20 : 2 = 10

20 : 1 = 20

Cualquier número natural es divisible por 1 y por sí mismo.

Reflexiona

Si estamos trabajando con números fuera de un problema (sin contexto) puede haber resultados que son iguales:

Por ejemplo, 10 · 2 = 2 · 10 = 20

Pero dentro de este problema estos dos resultados son diferentes porque tanto el 2 como el 10 representan a distintos objetos.

Son dos ordenaciones distintas:

  • 10 barcos en 2 filas
  • 2 barcos en 10 filas

Solución 2: ordenando 9 plazas

Para visualizar las posibles soluciones clica en la casilla "posibilidades" y en los botones con flechas.

https://www.geogebra.org/m/t4tmvryb (Ventana nueva)

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Solución

Para 9 plazas existen 3 posibilidades:

9 plazas en 1 fila (9 = 9 · 1)

3 plazas en 3 filas (9 = 3 · 3)

1 plazas en 9 filas (9 = 1 · 9)

Son factorizaciones de 9.

Solución 3: ordenando 7 plazas

https://www.geogebra.org/m/sjk7rgu9 (Ventana nueva)

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Solución

Para 7 plazas existen 2 posibilidades:

7 plazas en 1 fila (7= 7 · 1)

1 plazas en 7 filas (7= 1 · 7)

Son factorizaciones de 7.

Números primos

En este caso existen sólo 2 posibilidades.

Se trata de un número primo, ya que tiene sólo dos divisores, él mismo y la unidad.

Otros ejemplos de números primos son:  2, 3, 5, 7, ...

Desgranando los factores

El factor clave

Esquema con ejemplo de factorización en árbol de 20

En el primer ejemplo buscamos números que multiplicados dan 20, es decir, factores o divisores de 20.

Estamos factorizando el 20.

Factorizar un número consiste en ponerlo como producto de dos o más cantidades.

Las factorizaciones de 20 son:

20 = 10 · 2 = 5 · 4 = 5 · 2 · 2 = 20 · 1

En el esquema puedes ver un diagrama para factorizar en forma de árbol.

Consiste en ir descomponiendo en producto de dos factores hasta llegar a un número primo.

Factor o divisor

Acabamos de ver que 10 y 2 son factores de 20 porque forman parte de una multiplicación que da 20.

10 · 2 = 20

Pero esta condición también es la de divisor.

El concepto de divisor y el de factor cumplen la misma condición.

  • Decimos que un número "a" es divisor de otro número "b" si hay un número "c" que cumple b = a · c.
  • Obviamente, "c" también es un divisor de "b".
  • Para escribirlo de forma abreviada utilizamos una raya vertical, a|b.
    • Ejemplo: diez es divisor de veinte, podemos escribirlo como 10|20.
    • También puedes decir que 10 divide a 20.

Primos y compuestos

Cuando organizamos 20 barcos tenemos más posibilidades que al organizar 15, 9 o 7.

¿Por qué?

El número 20 tiene más formas de expresarse como un producto que el 15, el 9 o el 7.

20 = 10 · 2 = 5 · 4 = 5 · 2 · 2 = 20 · 1

Pero en el caso del 15 y del 9:

15 = 3 · 5 = 15 · 1

9 = 3 · 3 = 9 · 1

Y para el 7:

7 = 7 · 1

El 7 sólo tiene una forma de expresarse con factores distintos porque es un número primo.

Sus únicos factores o divisores son él mismo y la unidad.

El 9 no es primo porque tiene dos formas de expresarse con factores distintos.

Se trata de un número compuesto.

Además, el 9 se puede poner como producto de dos factores iguales, es el cuadrado de 3.

NOTA: El 1 no se considera un número primo (porque sólo tiene un divisor) ni tampoco un número compuesto.

Factoría de primos

En ocasiones, los números que forman una multiplicación se pueden seguir factorizando.

Por ejemplo:

20 = 10 · 2 ¿puedes descomponer alguno de estos factores? Sí, el 10.

20 = 5 · 4 ¿puedes descomponer alguno de estos factores? Sí, el 4.

4 = 2 · 2 ¿puedes descomponer alguno de estos factores? No.

Si ya no podemos seguir estamos ante una factorización prima:

20 = 2 · 2 · 5

Descomponer un número en factores primos, consiste en expresarlo como una multiplicación de números primos.

Un método es la factorización en forma de árbol que expusimos antes.

Esta factorización es importante porque es única para cada número.

Las calculadoras modernas hacen factorizaciones primas.

Si algún número (como ocurre en este ejemplo con el dos) se repite, lo suelen expresar en forma de potencia:

20 = 22 · 5, esta es la factorización prima de 20.

Visualiza divisores en arco iris

https://www.geogebra.org/m/m5jrbkmd (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/m5jrbkmd,GG_MAT1ESO_REA01%20Divisores%20e%20iniciaci%F3n%20a%20la%20factorizaci%F3n,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Técnica del arco iris para encontrar todos los divisores de un número: 

  • Escribe 1 a la izquierda y el número mismo a la derecha y conéctalos con un arco.
    Ejemplo: 1 — 24
  • Divide el número por 2, 3, 4, etc., hasta llegar a la mitad del número.
    Cada vez que encuentres una división exacta, escribe el par de números y conéctalos con un arco.
    Ejemplo: 1 — 24, 2 — 12, 3 — 8, 4 — 6
  • Continúa hasta que los divisores se encuentren.
  • Finalmente, agrupa todos los divisores encontrados.
    Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, y 24.

Practica los divisores de un número

Calcula todos los divisores de cada número.

Puedes dejar casillas libres e incluso escribirlos desordenados, pero no es recomendable, ya que puedes olvidarte de algún divisor.

https://www.geogebra.org/m/uzkpsz9k (Ventana nueva)

(Guardar la puntuación)
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Definiciones de divisibilidad

Repasa conceptos de divisibilidad

Divisor o factor

Un número "a" es divisor de otro número "b" si hay otro número "c" que cumple b = a · c.

Podemos escribirlo como a|b y leerlo como "a divide a b".

Ejemplo:

10 es divisor de 20 porque 20 = 10 · 2.

Número primo
Es el que tiene como divisores sólo a él mismo y a la unidad.
Ejemplo:
El 2 es el primer número primo.
También son primos el 3, 5, 7...
Número compuesto

Es el que tiene más divisores que él mismo y la unidad, por tanto, no es primo.

El 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Factorizar

Llamamos factorizar a descomponer un número en factores (primos o compuestos).

Ejemplo:

10 · 2 es una factorización de 20 porque 20 = 10 · 2.

Los números 2 y 10 son los factores o también son divisores de 20.

Factorización prima

Una factorización es prima si está formada sólo por números primos.

Ejemplo:

La factorización prima de 20 es 2 · 2 · 5.

El 2 y el 5 son divisores (factores) de 20.

Múltiplo

Un número "a" es múltiplo de otro número "b" si es el resultado de multiplicar "b" por otro número "c".

a = b · c

"a" es múltiplo de "b" y "c" simultáneamente.

Ejemplo:

20 es múltiplo de 10 porque 20 = 10 · 2.

20 también es múltiplo de 2.

Relación entre divisor y múltiplo

Si "a" es múltiplo de "b" entonces "b" es divisor de "a" y viceversa.

Ejemplo:

el 10 es múltiplo de 2, o lo que es lo mismo, 2 es un divisor de 10.

2 es divisor de 10 o lo que es lo mismo 10 es múltiplo de 2.

Propiedades (ampliación)

En estas propiedades a, b y c representan números naturales.

- El uno es divisor de cualquier número natural (1|a).

- Todo número es divisible entre sí mismo (a|a).

- Cualquier número natural es divisor del cero (a|0).

Las dos propiedades que vienen a continuación se cumplen de forma recíproca:

- Si encontramos dos divisores de un número, su producto también es divisor de este número (si a|c y b|c entonces a·b|c).

Por ejemplo, 3|30 y 5|30 por tanto 15|30.

- Y viceversa, si un número es divisible entre un producto también lo es entre cada uno de sus factores (si a·b|c entonces a|c y b|c)

Por ejemplo, 15|30 por tanto 3|30 y 5|30.

- Si un número divide a otro y multiplicamos ambos por la misma cantidad los resultados siguen cumpliendo la relación de divisibilidad (si a|b entonces a·c|b·c).

Por ejemplo, como 5|10 entonces si multiplicamos ambos por cuatro se cumple que 20|40.

- Y viceversa, si un número divide a otro y dividimos ambos por la misma cantidad los resultados siguen cumpliendo la relación de divisibilidad (si  a·c|b·c entonces a|b).

Por ejemplo, como 20|40 entonces si dividimos ambos entre cuatro se cumple que 5|10.

Lista de cotejo de divisibilidad

Completa la lista de cotejo marcando las casillas al realizar las actividades correspondientes.

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