Glosario
Dicotomía
Fisgando en N
3.3. Por las ramas
Contando algas
En tus visitas a la playa seguramente encontraste algas de distintos colores y formas.
Esta alga de color pardo rojizo tiene unas ramas que se duplican (forma dicotómica).
- ¿Sabrías decir cuántas ramificaciones hay en la parte superior del alga de la foto?
- ¿Se te ocurre alguna forma rápida de calcularlas sin contar directamente?
- ¿Qué operaciones deberías realizar para ello?
¿Sabías que con las algas también se hacen herbarios? Si quieres ver uno ya terminado, en este vídeo se muestra uno antiguo hecho por la naturalista E. Bonning que está en el museo Massó de Bueu.
Visualiza árboles de potencias
Ayúdate de este applet para dibujar un alga utilizando las potencias.
Elige un número para la base y representa las distintas potencias de la base (mediante el número de ramas o de puntos).
https://www.geogebra.org/m/btbjcxy6 (Ventana nueva)
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n
Autoría: Javier Cayetano
Operando con las ramas: propiedades
En el apartado 2.3 vimos la definición de potencia.
Ampliamos esta definición añadiendo otros resultados.
Por ejemplo, acabas de ver en el ejercicio anterior que al elevar a 0 el resultado es 1, ¿por qué?
Vas a ver que está relacionado con las propiedades de las potencias, que también te ayudan a hacer cálculos de forma más rápida.
Propiedad 1
Al multiplicar potencias de la misma base, el resultado es una potencia con la misma base y con exponente la suma de los exponentes de cada una de ellas.
La explicación puedes verla en este ejemplo:
\((3^{2})·(3^{4}) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3^{(2+4)} = 3^{6}\)
Propiedad 2
Al dividir potencias de la misma base, el resultado es una potencia con la misma base y con exponente la resta de los exponentes de cada una de ellas.
La explicación puedes verla en este ejemplo:
\((3^{5}): (3^{2})= (3 · 3 · 3 · 3 · 3) : (3 · 3) = 3^{(5-2)} = 3^{3}\)
Consecuencias
Consecuencia de la propiedad anterior es el resultado que se obtiene al elevar un número a 0, que siempre es 1.
En este ejemplo haremos una división aplicando la propiedad de la división de dos potencias de la misma base:
\((3^{5}):(3^{5}) = 3^{(5-5)} = 3^{0}\)
Pero por otra parte la división de dos cantidades iguales es uno, por lo que
\((3^{5}):(3^{5}) = 1\)
Por lo tanto, el primer resultado y el segundo son iguales.
\(3^{0}=1\)
Otra consecuencia es el resultado que se obtiene al elevar un número a 1, que siempre es la base.
Por ejemplo:
\((3^{5}):(3^{4}) = 3^{(5-4)} = 3^{1}\)
Pero por otra parte:
\((3·3·3·3·3):(3·3·3·3) = 3\)
Por lo tanto el primer resultado y el segundo son iguales
\(3^{1}=3\)
Propiedad 3
Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado es una potencia con la misma base y de exponente el producto de los exponentes.
Ejemplo:
\((3^4)^2 = 3^{(4 · 2)} = 3^{8}\)
Si realizas la primera potencia y al resultado de esta le aplicas la segunda, puedes ver porqué se cumple esta propiedad.
\((3^{4})^{2} = (3 · 3 · 3 · 3)^{2} \)=
= \(3^{2} · 3^{2} · 3^{2} · 3^{2}= 3^{8}\)
Observa que en este último paso hemos elevado al cuadrado un producto elevando cada factor.
Podríamos haber hecho el cuadrado del producto completo y obtendríamos el mismo resultado.
\((3^{4})^{2} = (3 · 3 · 3 · 3)^{2} = (3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3) = 3^{8}\)
Aún más propiedades
Podemos encadenar las potencias con otras operaciones.
Si queremos elevar una multiplicación (o división) al cuadrado, al cubo o a otro exponente se puede resolver elevando cada factor (dividendo y divisor).
Ejemplos:
(6 · 3)2 = 62 · 32 = 36 · 9 = 324
(6 : 3)2 = 62 : 32 = 36 : 9 = 4
También podríamos hacer antes la multiplicación (o división), ya que está entre paréntesis, y elevar al cuadrado el resultado.
(6 · 3)2 = 182 = 324
(6 : 3)2 = 22 = 4
¿Por qué ocurre esto?
I- Lo vemos primero con la multiplicación
Pensando en la definición de potencia:
- (6 · 3)2 = (6 · 3) · (6 · 3)
Por la propiedad asociativa podemos cambiar la forma en la que organizamos los paréntesis, y por la conmutativa el orden de los factores, agrupando los que son iguales:
- (6 · 3) · (6 · 3) = (6 · 6) · (3 · 3) = 62 · 32
Aquí ves la importancia de las propiedades para poder hacer operaciones de forma más sencilla.
II- Lo mismo ocurre con la división
Por definición:
- (6 : 3)2 = (6 : 3) · (6 : 3)
En este caso se aplica la multiplicación de fracciones que ya viste en primaria (multiplicar numeradores, 6 · 6 y denominadores 3 · 3):
- (6 : 3) · (6 : 3) = (6 · 6) : (3 · 3) = 62 : 32
II- Se puede ampliar a más de dos factores
Si hay más de dos factores también se puede aplicar.
(6 · 3 · 4)2 = 62 · 32 · 42 = 36 · 9 · 16 = 324 · 16 = 5184
IV- Es reversible
En ocasiones, puede interesar utilizar esta igualdad en sentido contrario, con lo que estamos agrupando factores.
62 · 32 · 42 = (6 · 3 · 4)2
Esquema con las propiedades de las potencias
Visualiza producto de potencias con la misma base
https://www.geogebra.org/m/nyvgmsta (Ventana nueva)
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n
Visualiza división de potencias con la misma base
https://www.geogebra.org/m/vyk5jzdd (Ventana nueva)
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n
Practica propiedades de las potencias
https://www.geogebra.org/m/tcmunxjn (Ventana nueva)
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n
Autoría: Javier Cayetano
Practica propiedades de las potencias a contrarreloj
Se asignará una calificación al terminar cada ficha. ¡Ojo! Hay que terminar la ficha para obtener su calificación.
- Los 5 primeros cálculos correctos, valen 1 punto cada uno, a partir de ahí, 0,5 puntos cada operación.
- Cada fallo, descuenta un acierto.
- Si se hacen varios intentos, se conserva la puntuación más alta.
https://www.geogebra.org/m/syuppnhh (Ventana nueva)
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n
Autoría: Javier Cayetano
Repasa las propiedades de las potencias
- Producto de potencias de igual base
-
Para multiplicar potencias de la misma base se pone en el resultado esa base y se suman los exponentes de cada una de ellas.
Ejemplo: 62 · 63 = 6(2+3) = 65
- Cociente de potencias de igual base
-
Para dividir potencias de la misma base se pone en el resultado esa base y se restan los exponentes de cada una de ellas.
Ejemplo: 65 : 62 = 6(5-2) = 63
- Potencia de una potencia
-
Para elevar una potencia a otra potencia, se pone en el resultado esa base y se multiplican los exponentes.
Ejemplo: (63)5 = 6(3 · 5) = 615
- Potencia de un producto o de un cociente
-
Si queremos elevar una multiplicación (o división) al cuadrado, al cubo o a otro exponente se puede resolver elevando cada factor (dividendo y divisor).
Ejemplo: (6 · 2)3 = 63 · 23
Ejemplo: (6 : 2)3 = 63 : 23
- Potencia de exponente 1
-
Consecuencia de la propiedad número dos es el resultado que se obtiene al elevar un número a 1, que siempre es la base.
Ejemplo: 61 = 6
- Potencia de exponente 0
-
Consecuencia de la propiedad número dos es el resultado que se obtiene al elevar un número a 0, que siempre es 1.
Ejemplo: 60 = 1
Lista de cotejo de potencias
Completa la lista de cotejo marcando las casillas al realizar las actividades correspondientes.
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