2.5 Función de proporcionalidade inversa

Se hai que facer un determinado traballo, canto maior sexa a potencia menor será o tempo que se tarda en facelo, como xa sabemos. Podemos concretar un pouco máis: se a potencia é o dobre, o tempo empregado será a metade; se a potencia é o triplo, o tempo será tres veces menor, e así sucesivamente. Cando ocorre isto, dicimos que esas dúas magnitudes son inversamente proporcionais.

• Exemplo 1. Hai que facer un traballo de 10 000 J. Canto tempo tardaremos en facelo? Depende da potencia que utilicemos; imos facer unha táboa tempo/potencia (despexamos o tempo da fórmula da potencia: P = W/t → t = W/P)

Potencia ( W)	Tempo (s) [t=WP]
10 100 200 400 1000	1000 100 50 25 10

Relacións deste tipo entre dúas magnitudes son frecuentes en ciencias e na vida cotiá. Matematicamente podemos escribilas de forma xeral coa expresión

onde k é un número fixo que se chama constante de proporcionalidade.

En xeral, a variable x pode tomar tamén valores negativos. Fíxese que da expresión anterior da función dedúcese que o produto das dúas variables dá sempre o mesmo resultado:

• Exemplo 2. Representamos graficamente a función y = 4/x. Facemos primeiro unha táboa de valores x - y e logo representamos.

X	Y
-4 -2 -1 1 2 4	-1 -2 -4 4 2 1

A representación gráfica é unha curva que se chama hipérbole. Ten dúas ramas que, neste caso, están no primeiro e no terceiro cuadrante dos eixes coordenados. Observe que a curva non corta os eixes nin tampouco pasa pola orixe de coordenadas; as dúas ramas pódense achegar moito aos eixes, pero sen tocalos: estes son rectas asíntotas.

 Unha recta é asíntota a unha curva cando esta se achega indefinidamente á recta pero sen tocala nunca. Se a constante k de proporcionalidade é positiva, como na función anterior, a función é decrecente: ao aumentar x diminúe y. Se vostede vai seguindo a curva de esquerda a dereita verá que “vai baixando”, é decrecente.

Vexamos como é a gráfica no caso de ser k negativa. Sexa a función y = -4/x:

X	Y
-4	1
-2	2
-1	4
1	-4
2	-2
4	-1

Xa ve que se k é negativa as dúas ramas da hipérbole están nos cuadrantes 2º e 4º, e que a función é sempre crecente. En todos os casos, a gráfica é simétrica respecto da orixe de coordenadas: a cada punto de coordenadas (x, y) correspóndelle outro simétrico de coordenadas (-x, -y). Se a gráfica pasa polo punto (3, -6) daquela tamén pasa polo (-3, 6).