Volviendo atrás en el cuaderno Uxía retomó las página del faro de Fisterra para volver a leer: —"Su tejado, con forma de semiesfera, permiten evacuar eficazmente el agua de lluvia". —Con todo lo que hemos visto algo me dice que la semiesfera tiene más ventajas.
El farero no pudo evitar sonreír:
—Estás en lo cierto, Uxía. ¡Es pura geometría! La forma esférica distribuye la fuerza del viento y el peso de manera uniforme, haciéndola ideal para soportar las duras condiciones de la costa gallega.
Descubramos juntos las propiedades de la esfera que la hacen única.
Esfera. Definición y elementos
Una esfera es un cuerpo de revolución obtenido al girar un semicírculo alrededor de su diámetro, tal y como vemos a continuación.
Es el centro del semicírculo. En nuestro caso \(O\).
Radio
Es el radio del semicírculo. En nuestro caso \(r\).
Diámetro
Es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro \(segmento AB\).
Otros elementos de la esfera
Representación
Cuerda
Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
Polos
Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica \(A\;y\;B\)
Ecuador
Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera.
Meridiano
Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.
Paralelos
Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.
Área de la esfera
El área de una esfera es:
\(A_{esfera}=4·\pi·r^2\)
Aplica lo aprendido al faro de Fisterra
Enunciado
Un temporal ha causado graves daños en el recubrimiento metálico de la cúpula del faro de Fisterra, dejándolo completamente inservible. Para repararla, es necesario reemplazar el recubrimiento. ¿Cuánta cantidad de metal será necesaria para volver a cubrir toda la superficie de la cúpula?
Conocemos que la cúpula del faro tiene aproximadamente 2,3 metros de radio.
Solución
Lo que necesitamos calcular es el área de la cúpula del faro, que corresponde con el área de una semiesfera de radio \(r=2,3\;m\).
Es decir, esto equivale a calcular la mitad del área total de una esfera.
Necesitaremos \(33,24\;m^2\) de metal para volver a cubrir toda la superficie de la cúpula.
Problemas: área de la esfera
¡Fantástico!
El faro de Fisterra, construido en 1853, se alza como un guardián eterno en el fin del mundo conocido. Su cúpula semiesférica, situada sobre la linterna poligonal a 143 metros sobre el nivel del mar, es mucho más que una simple cubierta: está construida con materiales resistentes como el hierro fundido y el cobre, capaces de soportar las feroces inclemencias del Atlántico.
“La cúpula del faro de Fisterra,” concluyó Uxía, “es mucho más que una cubierta. Es el escudo que protege la luz que guía y salva vidas. Nosotros y nosotras, los nuevos guardianes del mar, debemos cuidarla como lo han hecho quienes vinieron antes.”
Para entender el área vamos a estudiar diferentes esferas para poder construir la cúpula de nuestro faro.
Si la cúpula metálica del faro de Fisterra tuviese {r} metros de radio ¿Cuántos \(m^2\) de metal necesitaremos para recubrirla?
Halla el área de una esfera de diámetro {d}.
Obtén el radio de una esfera, sabiendo que el área de su superficie es de {A} \(cm^2\).
La cúpula es una semiesfera.
Se calcula el área de una esfera y se divide entre dos.
\(A_{esfera}=4·\pi·r^2\)
Recuerda:
Un cartulina de tamaño A3 tiene una superficie de \(29,7\;cm\;·\;42\;cm = 1247,40\;cm^2\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Se calcula el radio de la esfera dividiendo entre 2 el diámetro. Después aplicamos la fórmula del área de la esfera.
\(A_{esfera}=4·\pi·r^2\)
Recuerda:
Un cartulina de tamaño A3 tiene una superficie de \(29,7\;cm\;·\;42\;cm = 1247,40\;cm^2\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del área de la esfera se debe despejar primero el radio \(r\).
\(A_{esfera}=4·\pi·r^2\)
Recuerda:
Un cartulina de tamaño A3 tiene una superficie de \(29,7\;cm\;·\;42\;cm = 1247,40\;cm^2\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
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Volumen de la esfera
El volumen de una esfera se determina a partir de un cilindro que tenga la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera, \(2r\). Puedes comprobarlo en el applet que está en el siguiente apartado.
Si vaciamos tres semiesferas llenas de arena en un cilindro, este se llenará por completo (ambos de radio \(r\)). Así deducimos que el volumen de la mitad de la esfera es un tercio del volumen de un cilindro.
En consecuencia, el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro.
Si un temporal produce un agujero en la cúpula del faro, esta comenzará a llenarse de agua debido a la lluvia. ¿Podrías calcular cuántos litros de agua cabrían en la cúpula si llegara a llenarse por completo?
En otras palabras, ¿cuál sería el volumen máximo de agua que podría contener esta semiesfera?
Conocemos que la cúpula del faro tiene aproximadamente 4,6 metros de diámetro.
Solución
Solución:
El radio es \(r=2,3\;m\) por ser la mitad de su diámetro \(d=4,6\;m\).
El volumen de la cúpula es el volumen de una semiesfera. Es decir, la mitad del volumen de una esfera:
La cúpula del faro de Fisterra está basada en una semiesfera, una figura que combina belleza y funcionalidad.
Sus propiedades geométricas permiten distribuir fuerzas, maximizar el espacio y, lo más importante, proteger la lámpara del viento y el agua.
Su forma, una semiesfera perfecta, fue elegida por su capacidad para resistir los embates del tiempo y proteger la luz que guía a los navegantes. "Quien entienda su volumen podrá medir la inmensidad de este legado", cita el cuaderno de don Xulián.
Para entender el volumen, vamos a estudiar diferentes esferas para poder construir la cúpula de nuestro faro.
Halla el volumen de una esfera de diámetro {d} cm.
El volumen de una esfera es {V} \(cm^3\). ¿Cuál es su diámetro?
El área de una esfera es {A} \(cm^2\). ¿Cuál es su volumen?
Con los datos que tenemos aplicamos directamente la fórmula del volumen de la esfera:
\(V_{esfera}=\frac{4}{3}·\pi·r^3\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
El diámetro nos permite calcular el radio y, en consecuencia, aplicar la fórmula del volumen de la esfera.
\(V_{esfera}=\frac{4}{3}·\pi·r^3\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder calcular el diámetro de la esfera, \(d\), primero debemos calcular su radio, \(r\).
El radio se puede calcular despejando \(r\) en la fórmula del volumen de la esfera.
\(V_{esfera}=\frac{4}{3}·\pi·r^3\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del volumen de la esfera debemos calcular primero su radio.
El radio se puede calcular despejando \(r\) en la fórmula del área de la esfera.
\(A_{esfera}=4·\pi·r^2\)
Con el radio ya calculado aplicamos la fórmula del volumen.
\(V_{esfera}=4/3·\pi·r^3\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
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¡Todo listo para construir!
A lo largo de esta fase has trabajado con diferentes cuerpos geométricos. Antes de llevar a cabo el reto planteado reflexiona en el diario de aprendizaje sobre las siguientes cuestiones:
¿Cómo valoras lo aprendido hasta el momento?
¿Tuviste problemas al construir o montar las figuras?
¿Cómo te ayudó el uso de modelos físicos a la hora de identificar cuerpos geométricos? ¿Y los modelos digitales?
¿En qué momento sentiste más seguridad con los cálculos?
