Absorbidos por la lectura del cuaderno de don Xulián, Uxía y su equipo no se dieron cuenta de que la noche había caído. Al levantar la vista, observaron cómo la luz del faro se expandía en la oscuridad con una forma peculiar.
—¡Mirad! —señaló Uxía—. No es solo un haz de luz, parece que se abre en forma de cono.
—Los conos no solo están en la base de muchas estructuras, también determinan cómo se propaga la luz —añadió don Xulián.
Descubramos juntos sus secretos.
Cono. Definición y elementos
Un cono recto es un cuerpo de revolución obtenido al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, tal y como vemos a continuación:
Finalmente, para calcular la mayor distancia a la que se puede ver su luz simplemente debes aplicar el teorema de Pitágoras:
\(g^2=r^2+h^2\)
\(44,5^2=2,3^2+h^2\)
\(1980,25=5,29+h^2\)
\(1980,25-5,29=h^2\)
\(h^2=1974,96\)
\(h=\sqrt{1974,96}\)
\(h=44,44\;km\)
Es decir, la mayor distancia a la que se puede ver la luz del faro de Cabo Silleiro es de aproximadamente \(44\;km\) (que son aproximadamente millas 24 náuticas)
Consulta, de este magnífico faro, este y otros datos en la wikipedia.
Problemas: área del cono
¡Fantástico!
El cono de luz del faro de Cabo Silleiro tiene un alcance de 24 millas náuticas, unos 44 kilómetros.
Vamos estudiar diferentes conos de luz para poder construir nuestro faro.
Con cartulinas amarillas vas a construir el cono de luz de vuestro faro. ¿Cuántos \(cm^2\) de cartulina necesitarás si las dimensiones del cono son {r} cm de radio y {g} cm de generatriz?
Con cartulinas amarillas vas a construir el cono de luz de vuestro faro. ¿Cuántos \(cm^2\) de cartulina necesitarás si las dimensiones del cono son {r} cm de radio y {h} cm de altura?
Con cartulinas amarillas vas a construir el cono de luz de vuestro faro. ¿Cuántos \(cm^2\) de cartulina necesitarás si las dimensiones del cono son {g} cm de generatriz y {h} cm de altura?
La superficie básica de un cono de luz para nuestro faro es de {A} \(cm^2\) y su generatriz {g} cm. Halla su altura.
El área total de un cono de luz es de {A} \(cm^2\) y el radio de la base es {r} cm. Halla su generatriz.
Con los datos que tenemos aplicamos directamente la fórmula del área del cono:
\(A_{cono}=A_B+A_L=\pi·r^2+\pi·r·g\)
Recuerda:
Un cartulina de tamaño A3 tiene una superficie de \(29,7\;cm\;·\;42\;cm = 1247,40\;cm^2\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del área del cono debemos calcular la generatriz \(g\).
La generatriz la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras.
Finalmente usamos la fórmula del área: \(A_{cono}=A_B+A_L=\pi·r^2+\pi·r·g\)
Recuerda:
Un cartulina de tamaño A3 tiene una superficie de \(29,7\;cm\;·\;42\;cm = 1247,40\;cm^2\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del área del cono debemos calcula el radio de la base \(r\).
El radio lo calculamos aplicando el teorema de Pitágoras.
Finalmente usamos la fórmula del área: \(A_{cono}=A_B+A_L=\pi·r^2+\pi·r·g\)
Recuerda:
Una cartulina de tamaño A3 tiene una superficie de \(29,7\;cm\;·\;42\;cm = 1247,40\;cm^2\).
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder calcular la altura, \(h\), debemos calcular primero el radio de la base \(r\).
El radio de la base lo calculamos despejando \(r\) en la fórmula del área de la base, \(A_{base}=\pi·r^2\).
Finalmente aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la altura \(h\).
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder calcular la generatriz, \(g\), sustituimos los datos en la fórmula del área del cono y despejamos \(g\).
\(A_{cono}=\pi·r^2+\pi·r·g\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
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Volumen del cono
Tomamos un cilindro y un cono con la misma altura, \(h\), e igual área de la base.
Si llenamos el cono con arena fina, necesitamos el contenido de 3 conos para llenar el cilindro. El volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.
El volumen de un cono con radio \(r\) y altura \(h\) es:
El espacio iluminado por el haz de luz del faro de Cabo Silleiro puede interpretarse conceptualmente como el volumen del cono. Aunque en términos físicos no se llena de luz, el volumen refleja el espacio potencial que ocupa la luz al dispersarse.
Vamos a estudiar diferentes conos para comprender el espacio que ocupa la luz.
La superficie de la base del cono de luz de nuestro faro mide {A} \(cm^2\) y tiene una altura de {h} cm. Halla su volumen.
Del cono de luz de nuestro faro se conoce el radio de la base que mide {r} cm y la altura que mide {h} cm. Calcula el volumen de dicho cono.
La generatriz del cono de luz de nuestro faro es de {g} cm y el radio de la base es de {r} cm. Halla su volumen.
La generatriz del cono de luz de nuestro faro es de {g} cm y su base mide {A} cm2. Halla su volumen.
Calcula el radio de la base de un cono cuyo volumen es de {V} \(cm^3\) si la altura de este cono es de {h} cm.
Con los datos que tenemos aplicamos directamente la fórmula del volumen del cono, \(V_{cono}=\frac{1}{3}·A_{base}·h\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del volumen del cono debemos calcular el área de su base, \(A_{base}=\pi·r^2\).
Ahora ya podemos calcular el volumen, \(V_{cono}=\frac{1}{3}·A_{base}·h\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del volumen del cono debemos calcular el área de su base, \(A_{base}=\pi·r^2\) , y su altura.
La altura la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras.
Ahora ya podemos calcular el volumen, \(V_{cono}=\frac{1}{3}·A_{base}·h\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Para poder aplicar la fórmula del volumen del cono debemos calcular su altura.
Pero para calcular la altura necesitamos primero calcular el radio de la base.
El radio de la base lo calculamos despejando \(r\) en la fórmula del área de la base, \(A_{base}=\pi·r^2\)
Ahora que conocemos el radio, \(r\), la altura la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras.
Finalmente ya podemos calcular el volumen, \(V_{cono}=\frac{1}{3}·A_{base}·h\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
Debemos despejar \(r\) en la fórmula del volumen del cono, \(V_{cono}=\frac{1}{3}·A_{base}·h=\frac{1}{3}·\pi·r^2·h\)
Nota: en la solución, usa el punto en vez de la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un número. Es decir, escribe, por ejemplo, 23.47 en vez de 23,47.
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