Definición:
Objeto geométrico en el que una misma estructura, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas y tamaños.
El término viene del latín "fractus", que significa fracturado.
Ejemplo:
El triángulo de Sierpinski es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.
—¿Por dónde cree que deberíamos empezar? —consultó Uxía a don Xulián.
—No olvidéis que la luz del faro no solo debe brillar, sino que debe alcanzar las aguas más alejadas y para ello la forma de la lámpara es una pieza clave. Si vuestros cálculos no son precisos, el haz de luz se perderá en la niebla —les recordó el farero.
—¡Tiene razón! Empecemos a investigar las características de los poliedros —afirmó convencida Uxía.
¿Por dónde deberíamos empezar? —preguntó Uxía a don Xulián.
—Recordad que la luz del faro no solo debe brillar, sino llegar muy lejos.
—La forma de la lámpara es clave. Si vuestros cálculos no son precisos, la luz se perderá en la niebla —explicó don Xulián.
—¡Tiene razón! Empecemos a investigar los poliedros y sus características —dijo Uxía, decidida.
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.
Ejemplo:
Cubo, tetraedro, dodecaedro y, en general, cualquier pirámide y prisma.
Las caras son los polígonos que limitan al poliedro.
Es una superficie plana que forma parte de un sólido tridimensional y está delimitada por aristas.
Ejemplo:
El cubo tiene 6 caras, todas en forma de cuadrado. El tetraedro tiene 4 caras triangulares equiláteras. El dodecaedro tiene 12 caras pentagonales.
Las aristas son las líneas donde concurren dos caras; son los lados de estas.
Una arista es el segmento de línea que une dos vértices.
Ejemplo:
En figuras bidimensionales: en un triángulo, hay 3 aristas, cada una conecta dos de los vértices. En un cuadrado, hay 4 aristas, una por cada lado.
En sólidos tridimensionales: en un cubo, hay 12 aristas, cada una une dos vértices.
Los vértices son los puntos en los que se cortan tres o más aristas.
Es una esquina o intersección en una figura geométrica.
Ejemplo:
En figuras bidimensionales: en un triángulo, hay 3 vértices, cada uno donde se encuentran dos lados. En un cuadrado, hay 4 vértices, uno en cada esquina.
En sólidos tridimensionales: en un cubo, hay 8 vértices, cada uno donde se encuentran tres segmentos (aristas).
Los poliedros cóncavos son aquellos que tienen alguna cara que, cuando la prolongamos, corta el poliedro.
No todos cumplen la fórmula de Euler.
Ejemplo:
Un prisma con base en forma de estrella.
Los poliedros convexos son aquellos en los que, cuando prolongamos una cara cualquiera, esta no corta al poliedro.
Todos cumplen la fórmula de Euler.
Ejemplo:
Pirámide pentagonal.
La Fórmula de Euler relaciona el número de Vértices (\(V\)), Aristas (\(A\)) y Caras (\(C\)) de un poliedro convexo.
Se expresa: \(C+V=A+2\)
Ejemplo:
Un cubo tiene \(C=6\) (Caras), \(V=8\) (Vértices) y \(A=12\) (Aristas) y cumple la Fórmula de Euler: \(6+8=12+2\).
Un tetraedro tiene \(C=4\) (Caras), \(V=4\) (Vértices) y \(A=6\) (Aristas) y cumple la Fórmula de Euler: \(4+4=6+2\).
Un poliedro es regular si cumple estas dos condiciones:
1. Todas sus caras son polígonos regulares iguales.
2. En cada vértice concurren el mismo número de aristas.
Ejemplo:
Solo existen 5 poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Un poliedro es irregular si sus caras son polígonos que no son todos iguales. Es decir, son aquellos que no son poliedros regulares.
Ejemplo:
Pirámide pentagonal: formada por 4 caras que son triángulos y por 1 cara que es un hexágono.
Los poliedros regulares son sólidos tridimensionales cuyas caras son polígonos regulares, y en los que el mismo número de caras se encuentra en cada vértice. También se conocen como los sólidos platónicos. Hay exactamente cinco poliedros regulares:
Los poliedros regulares son sólidos tridimensionales.
Sus caras son polígonos regulares.
El mismo número de caras se encuentra en cada vértice.
También se conocen como sólidos platónicos.
Hay exactamente cinco poliedros regulares:
Los sólidos platónicos reciben su nombre del filósofo griego Platón (427-347 a.C.), quien los relacionó con su teoría de los elementos y el universo en su obra Timeo. Según Platón, cada uno de los cinco sólidos regulares (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) estaba asociado a uno de los elementos fundamentales, que constituían el universo:
Los sólidos platónicos reciben su nombre de Platón (427-347 a.C.)
Relacionó el universo y los elementos (fuego, tierra, aire y agua) con los sólidos platónicos:
Pulsa sobre cada tarjeta para ver que polígonos forman las caras de los sólidos platónicos.
Pulsa sobre cada tarjeta para ver que polígonos forman las caras de los sólidos platónicos.
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Al final de esta página encontrarás una ficha de trabajo para recoger la información durante la actividad.
Por último, prepárate para asumir el reto, aprender de los errores, buscar metas comunes y no temer al fracaso, así será más fácil llegar al resultado final.
I. Materiales necesariosVas a empezar a construir la linterna del faro, creando cuerpos geométricos platónicos, pero antes necesitarás los siguientes materiales:
· Palillos (palillos de madera como los de dientes o también servirán pajitas).
· Plastilina (preferiblemente de diferentes colores).
· Folios y bolígrafos para tomar notas (opcional).
· Regla y lápiz para hacer mediciones y dimensionar los cuerpos geométricos (opcional).
· Tijeras, en caso de querer cortar los palillos a diferentes longitudes para crear variaciones de los cuerpos geométricos (opcional).
· Ficha de trabajo para recoger la información básica de los diferentes sólidos platónicos..
Una vez que tengas todos estos materiales, ya podrás comenzar a explorar el fascinante mundo de los cuerpos geométricos mediante la construcción de modelos tridimensionales.
Vamos a construir la linterna de un faro usando poliedros regulares.
Lo vas a hacer mediante trabajo en equipo.
Consulta las instrucciones para el trabajo en equipo.
Usa la ficha de trabajo durante la actividad.
I. Materiales necesariosVas a construir la linterna del faro creando figuras geométricas.
· Palillos.
· Plastilina.
· Folios y bolígrafos (opcional).
· Regla y lápiz (opcional).
· Tijeras (opcional).
· Ficha de trabajo..
Empieza a construir los sólidos platónicos.
Crear figuras geométricas con plastilina y palillos parece sencillo. Sin embargo, a veces puede resultar desafiante lograr una precisión y un acabado perfecto en estas creaciones.
Aquí tienes algunos consejos y trucos que te pueden ayudar:
Utiliza una superficie de trabajo sólida como, por ejemplo, tu pupitre.
Calienta la plastilina amasándola con tus manos. Si necesitas mezclar colores, hazlo cuidadosamente para obtener el tono deseado. Asegúrate de tener la cantidad necesaria.
Usa palillos (o pajitas) de diferentes tamaños para construir cuerpos a diferente escala y lograr detalles más precisos.
Consejos para crear figuras geométricas con plastilina y palillos:
Utiliza una superficie de trabajo sólida (por ejemplo tu pupitre).
Calienta la plastilina amasándola con tus manos.
Asegúrate de tener la cantidad necesaria.
Usa palillos de diferentes tamaños para construir cuerpos de diferente tamaño.
II. Proceso de construcciónAhora que ya dispones de todos los materiales, empieza a construir la linterna del faro. Recuerda que estará formada por poliedros regulares (sólidos platónicos tridimensionales).
Para construir los poliedros, presta atención a los siguientes pasos:
Calcula los elementos que necesitas. Número de vértices, número de aristas y número de caras.
La fórmula de Euler te ayudará: \(C+V=A+2\)
Toma pequeñas porciones de plastilina y forma bolitas que servirán para representar los vértices de tu figura.
Asegúrate de que cada bolita sea del mismo tamaño para mantener la simetría de tu cuerpo geométrico.
Toma un palillo e inserta una bolita de plastilina en cada extremo. De esta manera, tendrás tu primera arista con dos vértices.
Construye y conecta más aristas a la ya creada para construir una cara.
Conectando aristas conseguirás la primera cara del sólido platónico.
Repite el proceso anterior de construcción de caras, conectando unas a otras, hasta conseguir tu figura geométrica.
Conectando caras conseguirás construir tu primer cuerpo geométrico.
Repite el proceso para crear más sólidos platónicos.
II. Proceso de construcciónPasos para construir la linterna usando sólidos platónicos tridimensionales:
Calcula los elementos que necesitas (número de vértices, aristas y caras).
La fórmula de Euler te ayudará: \(C+V=A+2\)
Toma pequeñas porciones de plastilina y forma bolitas.
Asegúrate de que cada bolita sea del mismo tamaño.
Toma un palillo e inserta una bolita de plastilina en cada extremo.
Construye y conecta más aristas a la ya creada.
Conectando aristas conseguirás la primera cara.
Repite el proceso hasta conseguir tu figura geométrica.
Conectando caras conseguirás construir tu primer cuerpo geométrico.
Repite el proceso para crear más.
Si tu figura es inestable, usa más plastilina en los vértices.
Así la figura será más resistente.
III. Combina sólidos platónicos para crear figurasCombina los sólidos platónicos que has construido para crear figuras tridimensionales más avanzadas y así mejorar la linterna del faro.
Si lo necesitas construye aristas nuevas para conectar diferentes sólidos platónicos.
Por ejemplo. puedes unir cuatro tetraedros siguiendo el fractal del Triángulo de Sierpinski. Puedes verlo en la galería siguiente.
III. Combina sólidos platónicos para crear figurasUne los sólidos platónicos que has construido.
Crearás figuras nuevas y así mejoras la linterna del faro.
Construye aristas nuevas para conectar diferentes figuras.
Ejemplo: puedes unir cuatro tetraedros siguiendo el modelo del triángulo de Sierpinski.
Puedes verlo en la galería siguiente.
IV. ¡La linterna!Ahora que ya has construido la linterna del faro es el momento de presentarla al resto de la clase.
Tu grupo debe presentar su modelo de linterna, destacando las características de los sólidos que habéis construido (número de caras, vértices y aristas). Para ello, usa la ficha de trabajo de una linterna en equipo.
IV. ¡La linterna!Debes presentar, con tu grupo, vuestra linterna del faro al resto de la clase.
Destaca sus características (número de caras, vértices y aristas).
Para ello usa la ficha de trabajo.
¡Fantástico!
Completa los números que faltan.
Recuerda la fórmula de Euler. ¡Seguro que te ayuda! \(C+V=A+2\)
Tetraedro:
Hexaedro (cubo):
Octaedro:
Dodecaedro:
Icosaedro:
¡Fantástico!
Relaciona cada sólido platónico con su elemento.
Tetraedro @@fuego@@ Hexaedro @@tierra@@
Octaedro @@aire@@ Dodecaedro @@cosmos@@
Icosaedro @@agua@@
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