Glosario
Recuento
-
Definición:
-
Contar el número de veces que se repite algo.
-
Ejemplo:
-
Se hizo el recuento de los votos.
Ocho apelli2 gallegos
3.2. Tablas de frecuencias
Recuento y agrupamiento de datos
Una vez recogidos los datos procedemos a realizar el recuento.
Para ello debemos diferenciar si la variable es cualitativa o cuantitativa:
Variable cualitativa
Observamos cuáles son los valores que toma la variable, \(x_i\), y contamos el número de veces que aparece cada uno de los datos, \(f_i\).
Variable cuantitativa
En primer lugar, ordenamos los valores de la variable, \(x_i\), de menor a mayor.
Una vez que estén ordenados, contaremos el número de veces que aparece cada uno de los valores, y lo indicaremos en \(f_i\).
Veamos cómo se haría con un ejemplo:
Práctica de deportes
Preguntamos en clase cuál es el deporte que practica cada uno de nuestros compañeros y obtenemos los siguientes resultados:
\(natación, judo, fútbol, baloncesto, voley, baloncesto, voley, atletismo, \)
\(natación, baloncesto, fútbol, atletismo, baloncesto, voley, baloncesto\)
Vamos a contar cuántas personas realizan cada uno de los deportes:
- natación: \(2\)
- judo: \(1\)
- fútbol: \(2\)
- baloncesto: \(5\)
- voley: \(3\)
- atletismo: \(2\)
Ahora que tenemos el recuento hecho, revisamos que el número total de datos se corresponda con los que recogimos.
Ahora vamos a trasladar estos datos a una tabla, para que visualmente sea más fácil interpretarlos:
| Deportes, \(x_i\) |
Nº de personas que lo practican, \(f_i\) |
| natación | \(2\) |
| judo | \(1\) |
| fútbol | \(2\) |
| baloncesto | \(5\) |
| voley | \(3\) |
| atletismo | \(2\) |
| \(N=15\) |
Horas de práctica
En la misma encuesta preguntamos el número de días a la semana que practican deporte:
\(2, 3, 1, 5, 1, 3, 4, 6, 4, 5, 2, 3, 4, 4, 3\)
Como la variable es cuantitativa, lo primero que tenemos que hacer es ordenar los valores obtenidos de menor a mayor. Y a continuación, vamos a contar cuántas personas realizan deporte tantos días a la semana:
- 1: \(2\)
- 2: \(2\)
- 3: \(4\)
- 4: \(4\)
- 5: \(2\)
- 6: \(1\)
Revisamos que el número total de datos se corresponda con los que tenemos recogidos.
Y, por último, trasladamos estos datos a una tabla:
| Días en los que se practica deporte, \(x_i\) |
Nº de personas que lo practican esos días, \(f_i\) |
| 1 | \(2\) |
| 2 | \(2\) |
| 3 | \(4\) |
| 4 | \(4\) |
| 5 | \(2\) |
| 6 | \(1\) |
| \(N=15\) |
Así tendremos resumida la información relativa a la variable estadística de forma adecuada y útil para su posterior estudio.
A continuación, realizaremos una tabla que resulte fácil y simple de leer, que nos ofrezca una visión de las características importantes de la distribución de la variable.
Tablas de frecuencias
Una vez realizado el recuento de datos, veamos cómo elaborar las tablas de frecuencias.
Antes de comenzar, es necesario saber qué representa cada una de las columnas:
- Variable estadística, \(\thinspace x\)
-
Es la característica de la población que estamos estudiando.
- Modalidades o valores de la variable estadística, \(\thinspace x_i\)
-
Cada uno de los valores que puede tomar la variable.
- Frecuencia absoluta, \(\thinspace f_i\)
-
Número de veces que se repite el dato \(x_i\).
La suma de las frecuencias absolutas es el número total de datos: \(N\)
\(N=f_1+f_2+...+f_n=\sum_{i=1}^{n} f_i\)
- Frecuencia relativa, \(\thinspace h_i\)
-
Es el cociente entre la frecuencia absoluta de \(x_i\) y el total de datos, \(h_i=\displaystyle \frac{f_i}{N}\).
La suma de las frecuencias relativas vale \(1\).
\(\sum_{i=1}^{n} h_i=h_1+h_2+...+h_n=\displaystyle \frac{f_1+f_2+...+f_n}{N}=\displaystyle \frac{N}{N}=1\)
- Porcentaje, \(\thinspace p_i\)
-
Para el dato \(x_i\) se calcula multiplicando su frecuencia relativa \(h_i\) por \(100\), es decir, \(p_i=h_i·100\).
La suma de los porcentajes vale \(100\).
- Frecuencia absoluta acumulada, \(\thinspace F_i\)
-
Es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que el dato \(x_i\).
\(F_1=f_1\)
\(F_2=f_1+f_2\)
...
\(F_i=f_1+f_2+...+f_i\)
- Frecuencia relativa acumulada, \(\thinspace H_i\)
-
Para el dato \(x_i\) es la suma de las frecuencias relativas de los valores que son menores o iguales que el dato \(x_i\).
\(H_1=h_1\)
\(H_2=h_1+h_2\)
...
\(H_i=h_1+h_2+...+h_i\)
Si la variable es cualitativa, no tiene sentido calcular las frecuencias acumuladas.
En caso de que la variable sea cuantitativa, lo primero que se tiene que hacer es ordenar los datos de la variable de menor a mayor.
La tabla que obtendremos será como esta:
| Variable estadística, \(x_i\) | Frecuencia absoluta, \(f_i\) | Frecuencia relativa, \(h_i\) | Porcentaje, \(p_i\) | Frecuencia absoluta acumulada, \(F_i\) | Frecuencia relativa acumulada, \(H_i\) |
| \(x_1\) | \(f_1\) | \(h_1\) | \(h_1 \cdot 100\) | \(F_1\) | \(H_1\) |
| \(x_2\) | \(f_2\) | \(h_2\) | \(h_2 \cdot 100\) | \(F_2\) | \(H_2\) |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(x_n\) | \(f_n\) | \(h_n\) | \(h_n \cdot 100\) | \(F_n\) | \(H_n\) |
| \(N\) | \(1\) | \(100\) |
Tablas
Las letras que se usan en las tablas son las que habitualmente se utilizan para hacer referencia a cada una de esas frecuencias, para no tener que escribir a qué frecuencia nos referiremos pero que todo el mundo lo entienda.
En la columna de la variable estadística se ponen las modalidades de la variable \(\thinspace x_i\) con las que se hace el recuento.
Ejemplos
Ejemplo de variable cualitativa
Los 25 alumnos de 1º de ESO provienen de cuatro parroquias diferentes, según se muestra en esta lista:
Oza, Lérez, Oza, Oza, Oza, Lérez, Castro, Oza, Oza, Oza, Castro, Vilar, Castro, Oza, Lérez, Castro, Lérez, Castro, Oza, Lérez, Lérez, Oza, Oza, Castro, Lérez.
¿Cómo resumirías los datos en una tabla?
1. Identificamos la variable estadística y hacemos el recuento:
La variable estadística a estudiar en este caso es la parroquia. Como es una variable cuantitativa no es necesario ordenarla.
Comencemos con el recuento:
- Oza: \(11\)
- Lérez: \(7\)
- Castro: \(6\)
- Vilar: \(1\)
Resumimos los datos obtenidos en una tabla:
| Variable estadística, \(x_i\) |
Frecuencia absoluta, \(f_i\) |
| Oza | \(11\) |
| Lérez | \(7\) |
| Castro | \(6\) |
| Vilar | \(1\) |
| \(N=25\) |
2. Calculamos la frecuencia relativa, \(h_i\)
Con los datos de la tabla anterior calculamos la frecuencia relativa de cada uno de los datos.
Recuerda que \(h_i=\displaystyle \frac{f_i}{N}\)
| Variable estadística, \(x_i\) |
Frecuencia absoluta, \(f_i\) |
Frecuencia relativa, \(h_i\) |
| Oza | \(11\) | \(\displaystyle \frac{11}{25}\) |
| Lérez | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{25}\) |
| Castro | \(6\) | \(\displaystyle \frac{6}{25}\) |
| Vilar | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{25}\) |
| \(N=25\) | \(1\) |
3. Porcentajes, \(p_i\)
Por último, calculamos la columna de los porcentajes, \(p_i=h_i·100\).
| Variable estadística, \(x_i\) |
Frecuencia absoluta, \(f_i\) |
Frecuencia relativa, \(h_i\) |
Porcentajes, \(p_i\) |
| Oza | \(11\) | \(\displaystyle \frac{11}{25}\) | \(44%\) |
| Lérez | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{25}\) | \(28%\) |
| Castro | \(6\) | \(\displaystyle \frac{6}{25}\) | \(24%\) |
| Vilar | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{25}\) | \(4%\) |
| \(N=25\) | \(1\) | \(100%\) |
Como es una variable cualitativa no tiene sentido calcular las frecuencias acumuladas.
Nota: En la práctica, la frecuencia relativa se puede expresar como porcentaje, fundiendo las dos últimas columnas en una sola.
Ejemplo de variable cuantitativa
Las cualificaciones en matemáticas de \(50\) alumnos han sido:
\(5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 7, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6\)
¿Cómo sería la tabla de estos datos?
1. Identificamos la variable estadística y hacemos el recuento:
En este caso, la variable estadística es la nota en matemáticas del alumnado.
Como es una variable cuantitativa, lo primero que tenemos que hacer es ordenarla, de menor a mayor.
\(0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10\)
Y a continuación, hacer el recuento:
- Nota de examen 0: \(1\)
- Nota de examen 1: \(1\)
- Nota de examen 2: \(2\)
- Nota de examen 3: \(3\)
- Nota de examen 4: \(6\)
- Nota de examen 5: \(11\)
- Nota de examen 6: \(12\)
- Nota de examen 7: \(7\)
- Nota de examen 8: \(4\)
- Nota de examen 9: \(2\)
- Nota de examen 10: \(1\)
Traslademos estos datos a una tabla de frecuencias:
| Variable estadística, \(x_i\) | Frecuencia absoluta, \(f_i\) |
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) |
| \(3\) | \(3\) |
| \(4\) | \(6\) |
| \(5\) | \(11\) |
| \(6\) | \(12\) |
| \(7\) | \(7\) |
| \(8\) | \(4\) |
| \(9\) | \(2\) |
| \(10\) | \(1\) |
| \(N=50\) |
2. Calculamos la frecuencia absoluta acumulada, \(F_i\)
Recuerda, que para calcular la frecuencia absoluta acumulada debemos hacer: \(F_k=\sum_{i=1}^{k} f_i=f_1+f_2+...+f_k\)
| Variable estadística, \(x_i\) | Frecuencia absoluta, \(f_i\) |
Frecuencia absoluta acumulada, \(F_i\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(3\) | \(7\) |
| \(4\) | \(6\) | \(13\) |
| \(5\) | \(11\) | \(24\) |
| \(6\) | \(12\) | \(36\) |
| \(7\) | \(7\) | \(43\) |
| \(8\) | \(4\) | \(47\) |
| \(9\) | \(2\) | \(49\) |
| \(10\) | \(1\) | \(50\) |
| \(N=50\) |
3. Hallamos la frecuencia relativa, \(h_i\)
Se calcula: \(h_i=\displaystyle \frac{f_i}{N}\)
| Variable estadística, \(x_i\) | Frecuencia absoluta, \(f_i\) | Frecuencia relativa, \(h_i\) |
Frecuencia absoluta acumulada, \(F_i\) |
| \(0\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(2\) |
| \(2\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) | \(4\) |
| \(3\) | \(3\) | \(\displaystyle \frac{3}{50}\) | \(7\) |
| \(4\) | \(6\) | \(\displaystyle \frac{6}{50}\) | \(13\) |
| \(5\) | \(11\) | \(\displaystyle \frac{11}{50}\) | \(24\) |
| \(6\) | \(12\) | \(\displaystyle \frac{12}{50}\) | \(36\) |
| \(7\) | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{50}\) | \(43\) |
| \(8\) | \(4\) | \(\displaystyle \frac{4}{50}\) | \(47\) |
| \(9\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) | \(49\) |
| \(10\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(50\) |
| \(N=50\) | \(1\) |
4. Obtenemos la frecuencia relativa acumulada, \(H_i\)
De forma análoga a como obtuvimos la frecuencia absoluta acumulada lo haremos con la frecuencia relativa acumulada, \(H_k=\sum_{i=1}^{k} h_i=h_1+h_2+...+h_k\), o también, \(H_k=\displaystyle \frac{F_k}{N}\)
| Variable estadística, \(x_i\) | Frecuencia absoluta, \(f_i\) | Frecuencia relativa, \(h_i\) |
Frecuencia absoluta acumulada, \(F_i\) |
Frecuencia relativa acumulada, \(H_i\) |
| \(0\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) |
| \(1\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) |
| \(2\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) | \(4\) | \(\displaystyle \frac{4}{50}\) |
| \(3\) | \(3\) | \(\displaystyle \frac{3}{50}\) | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{50}\) |
| \(4\) | \(6\) | \(\displaystyle \frac{6}{50}\) | \(13\) | \(\displaystyle \frac{13}{50}\) |
| \(5\) | \(11\) | \(\displaystyle \frac{11}{50}\) | \(24\) | \(\displaystyle \frac{24}{50}\) |
| \(6\) | \(12\) | \(\displaystyle \frac{12}{50}\) | \(36\) | \(\displaystyle \frac{36}{50}\) |
| \(7\) | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{50}\) | \(43\) | \(\displaystyle \frac{43}{50}\) |
| \(8\) | \(4\) | \(\displaystyle \frac{4}{50}\) | \(47\) | \(\displaystyle \frac{47}{50}\) |
| \(9\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) | \(49\) | \(\displaystyle \frac{49}{50}\) |
| \(10\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(50\) | \(1\) |
| \(N=50\) | \(1\) |
5. Por último, los porcentajes, \(p_i\)
Calculamos \(p_i=h_i·100\)
| Variable estadística, \(x_i\) | Frecuencia absoluta, \(f_i\) | Frecuencia relativa, \(h_i\) | Porcentajes, \(p_i\) |
Frecuencia absoluta acumulada, \(F_i\) |
Frecuencia relativa acumulada, \(H_i\) |
| \(0\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(2%\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) |
| \(1\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(2%\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) |
| \(2\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) | \(4%\) | \(4\) | \(\displaystyle \frac{4}{50}\) |
| \(3\) | \(3\) | \(\displaystyle \frac{3}{50}\) | \(6%\) | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{50}\) |
| \(4\) | \(6\) | \(\displaystyle \frac{6}{50}\) | \(12%\) | \(13\) | \(\displaystyle \frac{13}{50}\) |
| \(5\) | \(11\) | \(\displaystyle \frac{11}{50}\) | \(22%\) | \(24\) | \(\displaystyle \frac{24}{50}\) |
| \(6\) | \(12\) | \(\displaystyle \frac{12}{50}\) | \(24%\) | \(36\) | \(\displaystyle \frac{36}{50}\) |
| \(7\) | \(7\) | \(\displaystyle \frac{7}{50}\) | \(14%\) | \(43\) | \(\displaystyle \frac{43}{50}\) |
| \(8\) | \(4\) | \(\displaystyle \frac{4}{50}\) | \(8%\) | \(47\) | \(\displaystyle \frac{47}{50}\) |
| \(9\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{2}{50}\) | \(4%\) | \(49\) | \(\displaystyle \frac{49}{50}\) |
| \(10\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1}{50}\) | \(2%\) | \(50\) | \(1\) |
| \(N=50\) | \(1\) | \(100%\) |
Vamos a practicar
Ahora te toca a ti. En esta sección se te proponen una serie de actividades en las que tienes que elaborar las tablas de frecuencias para que practiques.
En esta ocasión vamos a hacerlo con lápiz y papel.
Empezamos con algo simple
Horas de estudio
1. Realiza la tabla de frecuencias de las horas diarias que dedican al estudio un grupo de 30 estudiantes:
\(\space 3, 4, 3, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 2, 0, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 4, 3\)
Estilo de música
2. Preguntamos a 20 estudiantes elegidos aleatoriamente por el tipo de música que prefieren escuchar. Las respuestas son:
disco, rock, rock, clásica, rock, latina, pop, rock, latina, rock, hip hop, hip hop, hip hop, latina, rock, clásica, disco, disco, latina, rock
Realiza la tabla de frecuencias.
Completando los datos...
La siguiente tabla muestra algunos datos sobre el número de televisores por hogar, obtenidos de una muestra de 200 hogares elegidos al azar.
Completa los huecos de la tabla y las afirmaciones siguientes seleccionando entre las opciones de respuesta:
Y ahora... ¡a por el reto 2!
Ahora que ya sabemos construir una tabla de frecuencias a partir de los datos de una variable cuantitativa y cualitativa, vamos a aplicar lo aprendido y utilizarlo para nuestro reto.
Vamos a utilizar la información que hemos recogido en los hogares de nuestras compañeras y compañeros de clase para el Reto 1 (apartado 3.1. Terminología).
Así que la actividad consiste en los siguientes pasos:
- Selecciona entre las variables que necesitarás para tu reto (Número de personas en el hogar, Primer apellido, Segundo apellido, Edad, Género, Situación laboral, Color de ojos, Color de pelo, Tipo de vivienda) una variable cualitativa y otra cuantitativa. Asegúrate de que entre toda la clase no quede ninguna variable del estudio por seleccionar.
- Fíjate en la información recogida en los hogares del alumnado de tu clase del apartado 3.1. Terminología correspondiente a las variables cualitativa y cuantitativa que elegiste en el apartado anterior.
- Construye las dos tablas de frecuencias de las variables elegidas, es decir, una tabla para la variable cualitativa y otra para la cuantitativa.
En esta ocasión puedes emplear la calculadora.
Ficha para el trabajo en grupo en "Y ahora... ¡a por el reto 2!"
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