2.4.1 Descrición da función exponencial e a súa gráfica

Analicemos as seguintes situacións:

• Temos unha folla de papel e dobrámola pola metade. Logo realizamos unha nova dobrez e unha máis, ata termos o papel dobrado catro veces. Se este proceso o repetimos 40 veces, canto pensa que tería de grosor? Menos dun metro, entre 1 e 10 metros, máis de 10 metros? Sorprenderíase ao saber que non é posible realizar 40 dobreces, e que o grosor sería suficiente para chegar da Terra á Lúa.

Isto supón un crecemento exponencial, duplicación, reduplicación e de novo duplicación. O noso pensamento é lineal e pensar de xeito exponencial é moi difícil.

• Unha colonia de células de lévedos, na que cada célula se duplica cada 10 minutos, crece de xeito exponencial. Por cada célula, cada 10 minutos, haberá dúas novas células. Despois doutros 10 minutos, haberá catro células, 10 minutos despois haberá oito células e así sucesivamente, a máis células de lévedos, máis células novas haberá cada 10 minutos.
• Unha lenda India conta que un rei lle ofreceu ao inventor do xadrez unha recompensa pola invención de tan entretido xogo, e o Bramán solicitou que lle fose concedido un gran de arroz polo primeiro cadro, dous grans polo segundo, catro polo terceiro e así duplicando a cantidade ata chegar á totalidade dos 64 cadriños que ten o xadrez. O rei accedeu de inmediato, sen caer na conta da cantidade que tiña que sacar das súas arcas, fagamos unha estimación, completando a táboa seguinte:

Cadriños	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Grans	2	4=22	8=23	16=24	32=25

Observemos que polo cadro 10 tería que recibir: 2¹⁰ = 1 024 grans de arroz,

E polo cadro 30 tería 2³⁰ = 1 073 741 824 grans de arroz.

Para sorpresa do rei, foi incapaz de cumprir a promesa, xa que non tiña arroz suficiente no seu reino.

Estamos ante unha función chamada exponencial e ten por expresión:

O caso particular anterior é unha función exponencial de expresión y = 2^x, e polo tanto de base 2.

Antes de representar graficamente esta función, debemos saber que:

• O seu dominio é toda a recta real. Os valores da variable independente (x) que podemos usar.

• O seu percorrido son o conxunto dos números reais positivos. Os posibles resultados que obtemos (y).

• A súa gráfica pasa sempre polo punto (0,1).

• É crecente e continua en todo o seu dominio.

Vexamos a táboa da función y =2^x e a súa representación gráfica:

Gráfica da función exponencial y = 2x

Unha cantidade crece exponencialmente cando o seu incremento é proporcional ao que xa existía.