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3.7. Potencia tus juegos

Los juegos tradicionales te potencian

¿Cómo crees que los niños y niñas jugaban hace años? ¿Existían juegos fuera de las pantallas? ¿Conoces algún juego que no esté en tu móvil, tableta u ordenador? 

Si no conoces ninguno no te preocupes, porque pronto descubrirás juegos tradicionales gallegos.

Esos juegos a los que jugaban nuestras madres y abuelas, y si los descubres también querrás jugar tú. 

Observa con atención el vídeo, porque luego tendrás que contestar a varias preguntas. 

  • ¿Qué juegos tradicionales aparecen en el vídeo? ¿Conocías alguno de ellos?
  • ¿Eres capaz de explicar las reglas de algún juego tradicional? ¿Son necesarias las matemáticas?
  • ¿Por qué crees que son útiles los juegos tradicionales? 
  • Busca información sobre algún juego tradicional. 

Un poquito de ayuda

Los juegos tradicionales potencian tus habilidades sociales y confianza, desarrollan tu creatividad, te permiten disfrutar de la naturaleza y aumentan tu visión espacial y equilibrio.

También te permiten aprender matemáticas sin darte cuenta. No solo porque tengas que hacer sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Además, están resolviendo problemas sin escribirlos en un papel. Aunque no lo creas eres especialista en matemáticas y no lo sabías. 

Jugando con potencias

Las reglas de muchos juegos tradicionales se establecen en función de las matemáticas. 

A continuación, te presentamos la dinámica del siguiente juego: 

  • Utilizamos siempre una potencia que tenga como base el número 2.Dado
  • Lanzamos un dado para conocer el exponente. 
    • Si obtenemos un 2, 4 o 6 avanzamos tantas casillas como sea el resultado de la potencia.
    • Pero si obtenemos 1, 3 o 5 retrocedemos tantas casillas como sea el resultado de la potencia. 

Entonces... ¿Dónde están las mates? Claro que sí en las potencias, pero hay algo más oculto. ¿Sabrías decir que es?  

Pista 1

Las potencias de base 2 son: 

21 = 2

22 = 2 · 2 = 4 

23 = 2 · 2 · 2 = 8

24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64

¿Pero porqué con los exponentes impares retrocedes y con los pares avanzas? ¿Estarás utilizando la base correcta?

Pista 2

Ahora que sabemos números negativos ¿Qué te parece si probamos con la base -2? 

Las potencias de base -2 son: 

(-2)1 = -2

(-2)2 = (-2) · (-2) = 4 

(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8

(-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16

(-2)5 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = -32

(-2)6 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 64

Parece que tiene más sentido. Pero, ¿por qué pasa esto?

En las matemáticas está el truco

Potencias de base entera

Como ya sabes una potencia es una multiplicación de un mismo número repetido varias veces. 

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 

Pero, ahora ya conoces los números negativos. ¿Pasará lo mismo? ¡Por supuesto!

(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8

(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16

¿A parte del resultado? ¿Qué diferencia observas?

El signo

Efectivamente, lo que cambia es el signo. ¿Pero por qué cambia?

El signo de la potencia depende de la regla de los signos de la multiplicación. 

(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8 tiene resultado negativo porque aplicando la regla de los signos:

- · - · - = + · - = -  

(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 tiene resultado positivo porque aplicando la regla de los signos:

- · - · - · - = + · - · - = - · - = +   

Con esto podemos decir que el signo depende del exponente: 

  • Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.
  • Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo. 

Así pues: 

  • (-5)3 tendrá un resultado negativo.
  • (-5)4 tendrá un resultado positivo. 

¡Cuidado!

Vas a ver la diferencia entre (-3)2 y -32:

Si la base está entre paréntesis el exponente afecta a todo lo que está dentro del paréntesis, es decir, al signo y al número. 

(-3)2 = (-3) · (-3) = 9

Pero, si la base está sin paréntesis el exponente afecta únicamente al número. 

-32 = - 3 · 3 = -9

Por esto tienes que estar muy atento o atenta, ya que un paréntesis puede cambiar todo el juego. 

Juega a positivo o negativo

En este juego sólo tienes que indicar el signo que resultaría si realizamos la operación. 

¿Serás capaz de obtener la máxima puntuación?

(-3)3  (-5)7 
(-8)2  24 
74  (-1)50 
63  115 
(-100)5  20243 
(-9)8  (-8)11 

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Los bolos celtas

Este juego tradicional se dice que tiene su base en la Edad Media y es uno de los exponentes de los juegos tradicionales gallegos. Y como resultado se jugaron en las olimpiadas de Barcelona ’92 como deporte olímpico de exhibición. 

Pues como ya sabes las potencias también tienen su base, exponente y resultado, así que ahora solo te queda averiguarlos:

Potencia Base Exponente Resultado
25
(-3)4
( ) -4 3
( ) 2 25
13 1
( ) -10 -1000

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Las reglas son...

Las reglas con las que debes jugar con potencias son las mismas que has visto en la unidad anterior. 

¡Aquí las tienes para poder recordarlas!

Multiplicar potencias con la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base se pone en el resultado esa base y se suman los exponentes de cada una de ellas.

La explicación puedes verla en este ejemplo:

\((-3)^{2}·(-3)^{4} = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = (-3)^{(2+4)} = (-3)^{6} = 3^{6} \)

Dividir potencias con la misma base

Para dividir potencias de la misma base se pone en el resultado esa base y se restan los exponentes de cada una de ellas.

La explicación puedes verla en este ejemplo:

\((-3)^{5}: (-3)^{2}= ((-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3)) : ((-3) · (-3)) = (-3)^{(5-2)} = (-3)^{3} = -3^{3}\) 

Potencia elevada a otra potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se pone en el resultado esa base y se multiplican los exponentes.

Ejemplo:

\((-3)^{4^{2}} = (-3)^{(4 · 2)} = (-3)^{8} = 3^{8}\)

Consecuencias

Podemos encadenar las potencias con otras operaciones.

Si queremos elevar una multiplicación (o división) al cuadrado, al cubo o a otro exponente se puede resolver elevando cada factor (dividendo y divisor).

Ejemplos:

[(-6) · (-3)]2 = (-6)2 · (-3)2 = 36 · 9 = 324

[(-6) : (-3)]2 = (-6)2 : (-3)2 = 36 : 9 = 4

También podríamos hacer antes la multiplicación (o división) ya que está entre corchetes, y elevar al cuadrado el resultado.

[(-6) · (-3)]2 = 182 = 324

[(-6) : (-3)]2 = 22 = 4

Practica con las reglas de las potencias

Las potencias son como un juego, lo único que tienes que conocer bien sus reglas. 

En el apartado anterior se recuerdan las reglas de las potencias, así que con la información anterior trata de ganar. 

Pulsando en "Resolver ejercicios" tienes distintas actividades para comprobar si has aprendido a aplicar las propiedades correctamente.

Cada respuesta correcta vale 1 punto, pero cada fallo también se penaliza con 1 punto.

https://www.geogebra.org/m/npdqfp8v (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/npdqfp8v,Propiedades%20de%20las%20potencias%20de%20n%FAmeros%20enteros,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Javier Cayetano

Matemáticas manipulativas: dominó de potencias

Seguro que conoces el juego del dominó. Aunque pueda sorprenderte su origen se remonta a hace más de mil años en China a partir de un juego de dados. 

Vamos a darle una vuelta al famoso juego y utilizarlo para practicar potencias. Descarga el documento que tienes disponible a continuación y recorta cada una de las fichas de dominó.

  1. En grupos de 2 o 3 personas, reparte el mismo número de fichas para cada uno.
  2. Sale un jugador o jugadora con la ficha que quiera, podéis escoger al de menor edad, aleatoriamente, por orden alfabético...
  3. Por orden, colocad vuestras fichas, enlazadas con la primera con un valor u operación equivalente por cualquier lado.
  4. Si no puedes colocar una ficha pierdes el turno.
  5. Gana quien se quede sin fichas.

Diseña tu dominó

Duración:
30
Agrupamiento: 4 personas
Grupo clase

Galicia, tierra de tradiciones y cultura, alberga una rica variedad de juegos populares que han pasado de generación en generación. Entre ellos, encontramos juegos de mesa como el dominó, que atraen a personas de todas las edades.

Tú ahora tendrás que crear tu propio dominó utilizando las potencias de base negativa. ¡Adelante!

Materiales

  • Cartulinas o folios.
  • Rotuladores o lápices.
  • Tijeras.
  • Regla.

Elaboración

Cada grupo diseña y crea 10 fichas de dominó con potencias de base un número entero.

  • Las fichas deben tener un tamaño uniforme de 6x3 cm y estar divididas en dos partes.
  • En una parte, escribe una potencia de base un número entero, como -2^3, 4 o 5^2 y en la parte opuesta, escribe una operación de potencias con números enteros, como \(4^{5}: (-4)^{2}, ((-3)^{{5})^{2}} o (-3)^{3}\cdot(-3)^{4}\) 
  • Ten en cuenta que las fichas deben ensamblarse entonces una operación de una ficha debe tener como resultado una potencia de base un número entero de otras fichas.

Desarrollo

Una vez creadas todas las fichas se mezclan sobre una mesa bocabajo. 

  • Se reparten 7 fichas a cada grupo.
  • Un grupo al azar tomará una ficha del montón y la colocará en el centro de la mesa. 
  • El siguiente grupo deberá colocar una ficha que coincida con el resultado de la ficha anterior, ya sea por la izquierda o por la derecha.
  • Si no tiene ficha debe coger una del montón y si no puede poner ninguna pasa turno.
  • Las fichas se irán colocando de forma continua, siguiendo la misma lógica.
  • El grupo que primero coloque todas sus fichas será el ganador.

Diario de aprendizaje

Ya casi has llegado al final, antes de resolver tu reto responde a las preguntas del bloque 3 de tu diario de aprendizaje.

Definiciones

Científica

Repasa potencias

Potencia

Operación matemática que consiste en el producto repetido de un número por sí mismo.

Base

El número que se multiplica por sí mismo se llama base.

Exponente

El número que indica la cantidad de veces que se multiplica se llama exponente.

Potencias de base negativa

Si la base de una potencia es negativa se tiene que:

· Si el exponente es impar, el resultado es negativo. Por ejemplo, (-2)3 = -8.
· Si el exponente es par, el resultado es positivo.  Por ejemplo, (-5)2 = 25.

Operaciones con potencias

· Para multiplicar potencias de la misma base se pone en el resultado esa base y se suman los exponentes de cada una de ellas. Por ejemplo, (-5)3 · (-5)4 = (-5)7

· Para dividir potencias de la misma base se pone en el resultado esa base y se restan los exponentes de cada una de ellas. Por ejemplo, 79 · 73 = 74

· Para elevar una potencia a otra potencia se pone en el resultado esa base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo, [(-3)6]2 = (-3)12

· La potencia de un producto es igual al producto de las potencias. Por ejemplo, [(-4) · 6]3 = (-4)3 · 63 

· La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. Por ejemplo, [(-8) : (-2)]5 = (-8)5 : (-2)5

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