7. Resolución de triángulos
Consideraciones generales.
Resolver un triángulo consiste en calcular la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos.
Sigue siendo válido que:
- La suma de los tres ángulos es 180º
- La suma de dos lados siempre es mayor que el otro lado.
A diferencia de los triángulos rectángulos, no se conoce ningún dato a priori, por lo que en este caso necesitaremos tres datos y no sólo dos.
Es decir, para resolver un triángulo cualquiera, se necesitan tres datos y uno de ellos ha de ser obligatoriamente un lado.
En el caso de un triángulo cualquiera, las definiciones de las razones trigonométricas no relacionan directamente los ángulos con los lados, puesto que las razones se definen para triángulos rectángulos. Pero no hay problema porque mediante el teorema del seno y del coseno sí tenemos relacionados lados y ángulos. Sólo habrá que pensar cuál conviene usar en cada caso.
¿Cuándo aplicar uno u otro teorema?
Tanto en el teorema del seno como en el del coseno, se relacionan los lados de un triángulo cualquiera con las razones trigonométricas de sus ángulos.
En el teorema del seno, se relacionan dos lados con dos ángulos.
En el teorema del coseno, tres lados con un ángulo.
Para aplicar cualquiera de los dos teoremas necesitaremos conocer tres datos para poder despejar un cuarto elemento del triángulo.
Si conocemos tres lados, la única posibilidad será aplicar el teorema del coseno para hallar el coseno de un ángulo y a partir del mismo, el ángulo.
Si conocemos un lado y dos ángulos, la única posibilidad será aplicar el teorema del seno para así poder hallar un segundo lado.
En el caso de que se conozcan dos lados y un ángulo, siempre se puede aplicar el teorema del coseno. Pero si el ángulo es opuesto a uno de los lados conocidos, será más cómodo aplicar el teorema del seno.
En algunos casos, a partir de determinados datos, no se obtiene ninguna solución, es decir, no existe ningún triángulo que los cumpla. En otros, la solución es unica. Y en otros, obtenemos como solución dos triángulos distintos que cumplen las condiciones pedidas.
A continuación analizaremos los cuatro casos con los que nos podemos encontrar.