5.2. Área
Actividad 1
En el siguiente applet puedes comprobar la relación que existe entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio.
Coge una calculadora y calcula los cocientes que van apareciendo al variar el radio con el deslizador.
Conclusiones actividad 1
Área del círculo
El cociente entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio es siempre constante. En concreto, es igual al número pi, 
.
Despejando el "Área del círculo" tenemos la fórmula del área del círculo en función de su radio:
Actividad 2
En el siguiente applet se muestran dos aproximaciones del área del círculo, junto con dos aproximaciones del número pi.
Marca la casilla "Ver polígonos inscritos":
Utiliza el deslizador del número de lados para aumentar el número de lados de los polígonos inscritos.
¿El área de estos polígonos es mayor o menor que el área del círculo?
A medida que aumenta el número de lados, ¿las áreas se aproximan más o menos al área del círculo?
¿En algún momento el área de un polígono inscrito llega a ser mayor que el área del círculo?
Fíjate en los cocientes del área entre el cuadrado del radio. ¿A qué número se acerca este cociente a medida que aumenta el número de lados?
Marca la casilla "Ver polígonos circunscritos":
Utiliza el deslizador del número de lados para aumentar el número de lados de los polígonos circunscritos.
¿El área de estos polígonos es mayor o menor que el área del círculo?
A medida que aumenta el número de lados, las áreas se aproximan más o menos al área del círculo?
¿En algún momento el área de un polígono cicunscrito llega a ser menor que el área del círculo?
Fíjate en los cocientes del área entre el cuadrado del radio. ¿A qué número se acerca este cociente a medida que aumenta el número de lados?
Marca la casilla "Ver diferencias"
Se muestran las diferencias entre las dos áreas y los dos cocientes. Puedes comprobar que estas diferencias van siendo menores conforme aumenta el número de lados de los polígonos.
Prueba ahora a variar el radio de la circunferencia sin variar el número de lados, ¿Varían las áreas?¿Varían los cocientes?
Igual que antes, podemos concluir que pi es un número que está entre las dos aproximaciones que se han hecho.
Conclusiones actividad 2
Sobre los polígonos inscritos:
El área de todos los polígonos inscritos en la circunferencia de radio r es siempre menor que el área del círculo.
A medida que aumenta el número de lados, el área se aproxima más al área del círculo sin llegar a superarla.
La medida de las áreas de los polígonos inscritos es una aproximación del área del círculo por defecto (la aproximación es menor que el área que se aproxima) tanto mejor, cuánto mayor sea el número de lados del polígono.
Sobre los polígonos circunscritos:
El área de todos los polígonos circunscritos a la circunferencia de radio r es siempre mayor que el área del círculo.
A medida que aumenta el número de lados, el área se aproxima más al área del círculo sin llegar nunca a ser igual o menor que esta.
La medida de las áreas de los polígonos circunscritos es una aproximación del área del círculo por exceso (la aproximación es mayor que el área que se aproxima) tanto mejor, cuánto mayor sea el número de lados del polígono.
Aproximación de la longitud de la circunferencia:
A medida que vamos aumentando el número de lados, la diferencia entre las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos se va haciendo menor.
De lo anterior se deduce fácilmente que el área del círculo es un número mayor que el área de cualquier polígono inscrito en la circunferencia y menor que el área de cualquier polígono circunscrito a ella y que además la podemos aproximar tanto como queramos sin más que ir aumentando el número de lados de los polígonos.
En el applet, haciendo n=50 y r=1 tenemos: 
Con n=50 y radio=2, tenemos: 
Con n=50 y radio=3, tenemos: 
Y así sucesivamente.
Aproximación del número pi:
Haciendo los cocientes de las aproximaciones del área del círculo entre el cuadrado de su radio, lo que obtendremos serán aproximaciones del número pi.
Si tomamos como aproximación del área del círculo las áreas de los polígonos inscritos, obtendremos aproximaciones de pi por defecto.
Si tomamos como aproximación del área del círculo el área de los polígonos circunscritos, obtendremos aproximaciones de pi por exceso.
En el applet, una vez fijado el número de lados, aunque variemos el radio, los cocientes no varían, son los mismos para todos los círculos.
Así, haciendo n=50 y para cualquier valor del radio, obtenemos:
Esto no es más que una aproximación del número pi:
Actividad 3
En el siguiente applet se muestra el desarrrollo de los polígonos inscritos en un círculo de radio r y se explica la fórmula del área por analogía con la fórmula del área de un polígono de n lados.
Arrastrando el deslizador que desenrolla el polígono se deduce fácilmente la fórmula del área del polígono regular de n lados:
Aumenta el número de lados utilizando el otro deslizador.
¿Cómo van siendo entre sí los valores de la apotema y del radio?
¿Y los de la longitud de la circunferencia y el perímetro del polígono?
A partir del área del polígono regular de n lados, intenta deducir por aproximación, la fórmula de área del círculo.
Puedes marcar la casilla "Mostrar área círculo" para ver las aproximaciones.
Conclusiones actividad 3
Teniendo en cuenta que la fórmula del área del polígono de n lados es:
Sabiendo que para n suficientemente grande, el área del polígono y la del círculo se aproximan tanto como queramos, y lo mismo con el perímetro y la circunferencia y la apotema y el radio, podemos escribir:
