Plegando velas
Ajuste del casco
En los barcos, la forma del casco se define mediante polinomios cúbicos o de mayor grado, obtenidos mediante un ajuste, para garantizar un flujo de agua suave (hidrodinámica) y reducir la resistencia de la ola. La sección transversal del casco se conoce como línea de flotación.
Supón que el perfil del casco en una sección \(S(x)\) viene dado por el polinomio:
\(S(x)=x^3+5x^2-2x-24\)
Para que el diseño sea ideal, el perfil debe hundirse solo hasta un punto clave.
Si \(x\) representa la distancia desde el centro del casco hacia un lado, ¿cuál es la distancia de la línea de flotación a la que el casco debe tocar el nivel cero? (considerando solo distancias positivas).
Para responder a esta pregunta, hay que factorizar el polinomio y calcular sus raíces.
Factorizar
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de dos o más polinomios.
La situación ideal es que los factores tengan grado 1 aunque, igual que ocurre cuando factorizas un número, no siempre se consigue.
- ¿Cómo se factoriza un polinomio? ¿hay "trucos"?
Sí. Uno de ellos es buscar sus "ceros", sus raíces.
- ¿Cómo es posible?
Gracias a la relación que existe, en ciertos casos, entre el resto de la división y el valor numérico.
Para eso debes conocer nuevas propiedades que están a continuación.
Teorema del resto
Este teorema permite hallar el resto de una división entre x-a sin tener que dividir.
Teorema del resto:
El resto R de la división de un polinomio P(x) entre x-a es igual al valor numérico del polinomio en x = a, es decir, R = P(a).
Teorema de factor
Este teorema conecta las raíces de un polinomio con sus factores.
Teorema del factor:
P(a) = 0 ⇔ (x - a) es un factor
Dicho de otro modo:
P(a) = 0 ⇔ P(x) : (x-a) es exacta
En ese caso, P(x) se puede escribir de la forma P(x) = (x - a) · C(x)
Siguiendo el proceso, si encuentras todas las raíces de un polinomio, tantas como su grado, obtendrás todos los factores posibles de grado 1.
Generalización:
Si un polinomio P(x) es de grado n tiene n raíces r1, r2, ..., rn; además, si an es el coeficiente del término de mayor grado, P(x) puede factorizarse como:
\[P(x) = a_n (x - r_1) (x - r_2) (x - r_3) \cdots (x - r_n)\]
El ajuste
En el ejemplo del barco, \(S(x)=x^3+5x^2-2x-24\), se buscan los ceros (raíces del polinomio).
Las posibles raíces son los divisores del término independiente.
Divisores de 24: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\)
Sustituyendo se comprueba que \(S(2)=0\); \(S(2) = 2^3+5\cdot 2^2-2\cdot 2-24=0\)
También ocurre con -3 y con -4; \(S(-3)=0\) y \(S(-4)=0\)
Por tanto, aplicando el teorema del factor, \((x-2)\), \((x+3)\) y \((x+4)\) son tres factores. Al ser un polinomio de grado 3 la factorización ya está completada: \(S(x)=(x+3)\cdot (x-2)\cdot (x+4)\).
- ¿Son válidas todas las soluciones en este problema? ¿Cómo se interpreta el resultado?
Como \(x\) representa la distancia desde el centro al lado del casco (simetría), solo interesan las raíces positivas, en este caso \(x=2\)
El perfil del casco toca la línea de flotación (el nivel del agua) exactamente a 2 metros del centro.