Estudo de caso

Durante esta semana no HospiVital, colaborades co equipo de Investigación inmunolóxica, que se dedica a estudar a resposta inmunitaria das persoas ante diferentes patóxenos e vacinas. O equipo necesita analizar como a concentración de anticorpos nas persoas cambia ao longo do tempo despois de ser expostas a un virus e como a capacidade do sistema inmunitario varía entre os pacientes.

Como parte do voso traballo, pedíronvos que axudedes a modelar matematicamente esta resposta inmunitaria utilizando ecuacións lineais, para entender mellor como a produción e eliminación de anticorpos afectan a inmunización. Vosa misión hoxe é resolver un sistema de ecuacións que describe a evolución dos anticorpos nas persoas e determinar o día en que dous pacientes alcanzan unha concentración similar de anticorpos. Esta análise será crucial para optimizar os tratamentos e as recomendacións para os pacientes.

Nun estudo sobre a resposta inmunitaria, o nivel de anticorpos nun organismo despois da exposición a un patóxeno (como un virus) segue unha certa evolución.

A concentración de anticorpos cambia en función do tempo, pero tamén depende de factores como a capacidade do sistema inmunitario de producir anticorpos e a súa eliminación.

A concentración de anticorpos pode modelarse como unha parábola, con aumento inicial rápido seguido dun decrecemento progresivo despois de alcanzar un pico.

A ecuación xeral pode ser:

\( C(t)=at^2+bt+c\)

Onde:

a determina a curvatura da función (como de rápido sobe ou baixa).
b é a taxa inicial de crecemento.
c é a concentración inicial (aquí c=0, xa que non hai anticorpos no día 0).

As ecuacións que modelan esta situación son as seguintes:

Persoa A
Crece rápido ao principio, alcanza un pico e despois comeza a baixar.
\(C_A(t)=−0.2t^2+5t \)

Persoa B
Ten un crecemento máis rápido pero tamén unha caída maior.
\(C_B(t)=−0.3t^2+6t\)

Retroalimentación

Cuestións 1 e 2.

Queremos atopar t , para que se igualen as concentracións, polo que debemos igualar as ecuacións e resolver.

\( −0.2t^2+5t = −0.3t^2+6t \)

\( −0.2t^2 +0.3t^2 = 6t - 5t \)

\( 0.1t^2 = t \) Simplificando,

\( 0.1t = 1 \)

\( t = 1 / 0.1 \)

\( t = 10 \)
A concentración de anticorpos das dúas persoas igualarase no día 10.

No día 10, a concentración de anticorpos de ambas as persoas volve ser a mesma, o que significa que a partir dese punto, a eliminación de anticorpos compensa a diferenza inicial na súa produción.

Cuestión 3.

Isto significa que no día 10, ambas persoas teñen a mesma cantidade de anticorpos no seu sistema. No contexto da resposta inmunitaria, isto podería indicar que, a pesar das diferenzas iniciais na produción de anticorpos:

A Persoa B tivo un crecemento máis rápido pero tamén unha eliminación maior.
A Persoa A, con eliminación menor, conseguiu igualarse á Persoa B no día 10.
Isto podería suxerir que despois do día 10, a Persoa A pode manter os anticorpos durante máis tempo.

Cuestión 4.

A resposta inmunitaria máis rápida vese na fase inicial, onde miramos a taxa de crecemento inicial (b):

A Persoa A crece a unha taxa de 5 unidades/día.
A Persoa B crece a unha taxa de 6 unidades/día.
A Persoa B ten unha resposta inmunitaria máis rápida, porque alcanza maiores concentracións antes que a Persoa A.

Pero tamén perde máis anticorpos (a=−0.3 fronte a a=−0.2), o que explica por que as concentracións se igualan no día 10.

Cuestión 5.

Substituímos t=10 nas ecuacións:

Persoa A:
\(C_A(10)=−0.2(10)^2+5(10)=−0.2(100)+50=−20+50=30\)

Persoa B:
\(C_B(10)=−0.3(10)^2+6(10)=−0.3(100)+60=−30+60=30\)

No día 10, ambas persoas teñen 30 unidades de anticorpos. Isto confirma o resultado da Cuestión 1.

Cuestión 6.

Ambas teñen 30 unidades de anticorpos no día 10, polo que teñen a mesma concentración nese momento.

Pero se seguimos máis aló do día 10:

A Persoa B perde anticorpos máis rapidamente (\(−0.3t^2\) ten unha caída máis pronunciada).
A Persoa A podería manter os anticorpos durante máis tempo.