2.4. Demostraciones
El teorema de Pitágoras es uno de los enunciados matemáticos más antiguos que se conocen. Ya se utilizaba de forma práctica en Mesopotamia y en Egipto hace cerca de 4000 años, pero en estas civilizaciones no se llegó a dar una demostración del mismo. La primera demostración del teorema se atribuye a Pitágoras, matemático griego que vivió entre los siglos VI y V a.C., de ahí que lleve su nombre. En realidad, Pitágoras, es el primero en hacer demostraciones matemáticas y valorar su importancia. Pero la obra de Pitágoras no ha llegado de forma directa hasta nosotros, ni siquiera se tiene la seguridad de que la escribiese él directamente o sólo alguno de sus discípulos, así que podemos imaginar cómo sería su demostración, pero no de forma segura.
El teorema de Pitágoras es quizás el enunciado matemático para el que se han hecho más demostraciones. Hay cientos de demostraciones. Hay demostraciones complejas y otras que son muy intuitivas, algunas algebraicas y otras geométricas.
A continuación se presenta un applet en el que se ha implementado la demostración del Teorema del Pitágoras hecha por Pappus, ya en el siglo IV. Esta demostración se basa en un resultado muy básico y es que todos los paralelogramos con la misma base y la misma altura tienen la misma área.
Actividad 1
Mueve el deslizador del siguiente applet para ver la demostración del teorema.
La demostración consta de tres transformaciones geométricas.
Primera transformación:
Los cuadrados construidos sobre los catetos se transforman en paralelogramos del mismo color que se mueve de manera que su altura siempre es la misma que la del cuadrado inicial y su base también. Como cualquier paralelogramo con la misma base y la misma altura tiene la misma área, las áreas de los paralelogramos son iguales que las áreas de los cuadrados del mismo color.
Segunda transformación:
Se trasladan los paralelogramos sin deformarlos hasta que su base coincide en ambos con el lado del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Tercera transformación:
Cada paralelogramo se transforma en otros paralelogramos del mismo color hasta convertirse en dos rectángulos que recubren el cuadrado construido sobre la hipotenusa. En este proceso todos los paralelogramos del mismo color, incluidos los dos rectángulos del final del proceso, tienen la misma área por tener la misma base y la misma altura.
Con esto queda demostrados que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Actividad 2
Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver los pasos de otra demostración del Teorema de Pitágoras.
Partimos de un triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos, b y c.
Construimos dos cuadrados de lado b+c y los dividimos de dos formas distintas. Los dos cuadrados tienen la misma área porque sus lados son iguales.
Los triángulos azules que aparecen en los dos cuadrados son triángulos rectángulos de catetos b y c y, por tanto, son iguales al triángulo de partida y su hipotenusa es a.
Si en los dos cuadrados así construidos suprimimos los cuatro triángulos azules, como el área de los triángulos es la misma,las superficies restantes en ambos deben ser iguales.
Así el área del cuadrado verde es igual a la suma de las áreas de los cuadrados naranja y rosa.
Es decir, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Puedes usar los deslizadores que aparecen al final de la construcción para variar las medidas de los catetos del triángulo de partida.
Actividad 3
En el siguiente applet se presenta una demostración del Teorema de Pitágoras en forma de puzzle. Está basada en la demostración de Perigal (s XIX).
Uno de los cuadrados de los construidos sobre los catetos se ha dividido en cuatro cuadriláteros que recubren su área sin solaparse.
El cuadrado construido sobre el otro cateto se mantiene sin dividir.
Si con los cuatro cuadriláteros del primer cuadrado junto con el cuadrado construido sobre el otro cateto se consigue recubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa sin solapamiento, el teorema quedaría probado.
Desplaza los cinco cuadriláteros hacia el cuadrado de la hipotenusa y colócalos hasta que consigas recubrir todo el cuadrado sin solapamientos.
Si marcas las casillas Pista 1 y Pista 2, se mostrará dónde se deben colocar dos de los cuadriláteros.
Si marcas la casilla Resolver, la actividad aparecerá totalmente resuelta.
Si mueves el punto blanco, comprobarás que la construcción no es única y que algunas de las disecciones del cateto no son válidas.