3.5. Rectas y puntos notables de un triángulo
Rectas notables de un triángulo:
Mediatrices: mediatrices de cada uno de sus lados.
Bisectrices: bisectrices de cada uno de sus ángulos internos.
Alturas: segmento perpendicular a una base que pasa por el vértice opuesto.
A veces no está contenida en el polígono.
Medianas: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
En los siguientes applets estudiaremos el comportamiento de estas rectas y su relación con las circunferencias circunscrita e inscrita.
Actividad 1
Una vez hayas visto y entendido cómo se realiza la construcción, mueve los vértices del triángulo y observa los cambios.
1. ¿Por qué punto pasa siempre la tercera mediatriz del triángulo?
2. En el applet, se dibuja una circunferencia con centro en el circuncentro y haciendo que pase por un vértice, ¿por que pasa siempre por los otros dos vértices?
3. ¿El circuncentro está siempre dentro del triángulo? ¿En qué casos?
Actividad 2
Una vez hayas visto y entendido cómo se realiza la construcción, mueve los vértices del triángulo y observa los cambios.
1. ¿Por qué punto pasa siempre la tercera bisectriz del triángulo?
2. En el applet, se dibuja una circunferencia con centro en el incentro y haciendo que pase por el punto más cercano del incentro a un lado, ¿cuál es la posición relativa del triángulo y la circunferencia? ¿Por qué la circunferencia siempre pasa por los puntos de los otros lados más cercanos al incentro?
3. ¿El incentro está siempre dentro del triángulo?
Actividad 3
Una vez hayas visto y entendido cómo se realiza la construcción, mueve los vértices del triángulo y observa los cambios.
1. ¿Por qué punto pasa siempre la tercera altura del triángulo?
2. ¿El ortocentro está siempre dentro del triángulo? ¿En qué casos?
Actividad 4
Una vez hayas visto y entendido cómo se realiza la construcción, mueve los vértices del triángulo y observa los cambios.
1. ¿Por qué punto pasa siempre la tercera mediana del triángulo?
2. ¿El baricentro está siempre dentro del triángulo? ¿En qué casos?
3. Haz que el triángulo sea rectángulo. ¿Con qué lados del triángulo coinciden dos de las alturas?
Conclusiones:
Circunferencia circunscrita y circunferencia inscrita
Tal y como sucede con los polígonos regulares, en cualquier triángulo se pueden trazar la circunferencia circunscrita y la inscrita.
La circunferencia circunscrita pasa por sus tres vértices, lo que significa que los tres deben estar a la misma distancia del circuncentro.
Por eso el circuncentro se obtiene como la intersección de las mediatrices de los lados.
La circunferencia inscrita es tangente a sus tres lados, lo que significa que la distancia entre los tres lados y el incentro debe ser la misma.
Por eso el incentro se obtiene como la intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo.
Mediatrices, circuncentro y circunferencia circunscrita
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto.
Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita y se llama circuncentro.
Bisectrices, incentro y circunferencia inscrita
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.
Este punto es el centro de la circunferencia inscrita y se llama incentro.
Alturas y ortocentro
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Medianas y baricentro
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.
Actividad 5
En el siguiente applet aparece una barra de herramientas con todos los botones necesarios para hacer los siguientes ejercicios.
Además cada botón aparece en el menú desplegable que le corresponde por defecto.
Se muestra también la barra de menús para que puedas guardar los ejercicios.
1. Construye las mediatrices, el circuncentro y la circunferencia circunscrita. En cada elemento escribe su nombre.
Guarda el archivo como "mediatrices_circuncentro".
2. Reinicia el applet y construye las bisectrices, el incuncentro y la circunferencia inscrita. En cada elemento escribe su nombre.
Guarda el archivo como "bisectrices_incentro".
3. Reinicia el applet y construye las alturas y el ortocentro. En cada elemento escribe su nombre.
Guarda el archivo como "alturas_ortocentro"
4. Reinicia el applet y construye las medianas y el baricentro. En cada elemento escribe su nombre.
Guarda el archivo como "medianas_baricentro"