Manual del detective: capítulo 4

Capítulo 4

¿Cuántas veces te has encontrado con pistas que por sí solas no revelan nada, pero al combinarlas resultan fundamentales para el caso?

Aquí es donde los sistemas de ecuaciones entran en juego: una herramienta matemática esencial que permite relacionar diferentes incógnitas y descubrir conexiones ocultas entre ellas.

Ya no solo trabajaremos con una incógnita sino con dos distintas, pero relacionadas entre sí.

Ahora, cada ecuación será una pieza del enigma y solo resolviéndolas juntas podrás llegar a la verdad.

Lectura facilitada

¿Has encontrado con pistas que por sí solas no revelan nada, pero al combinarlas sí?

Los sistemas de ecuaciones entran en juego.

Ya no solo trabajaremos con una incógnita sino con dos distintas, pero relacionadas entre sí.

Ahora, cada ecuación será una pieza del enigma y solo resolviéndolas juntas podrás llegar a la verdad.

Sistemas de ecuaciones

Aquí tienes algunas definiciones que debes conocer para adentrarte en el mundo de los sistemas de ecuaciones.

Ecuación lineal

Una ecuación lineal de dos variables es una ecuación de la forma \(ax+by=c\), donde a, b y c son números reales.

Toda ecuación lineal de dos variables es una recta. Por ejemplo, la ecuación \(x+3y=3\) se corresponde con la siguiente recta

Gráfico recta

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas se puede expresar de forma genérica como

Sistema genérico

donde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) y \(f\) son números reales.

Solución de un sistema lineal

Toda solución está formada por un par de valores (uno para la \(x\) y otro para la \(y\)) que verifican ambas ecuaciones a la vez.

Por ejemplo, \((-1,2)\) es solución del sistema

Solución sistema

Enigma visual

Al inicio de tu formación ya demostraste conocer el concepto de variable y calculaste visualmente sus valores al expresarse en distintas igualdades algebraicas.

Un sistema de ecuaciones lineales no es más que un caso particular de estos desafíos. Es hora de ver ejemplos más complejos.

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Fuga inminente

Llave = @@2@@

Esposas = @@4,5@@

\(\)

Atrapa al pirómano

Papel quemado = @@4@@

Mechero = @@6@@

\(\)

El veredicto matemático

Mazo de juez = @@20@@

Justicia = @@35@@

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Tipos de sistemas de ecuaciones

Además de enigmas visuales, cuando intentamos resolver sistemas lineales de dos variables estamos comprobando la posición relativa de dos rectas. Así, la posición de las rectas determina el número de soluciones del mismo.

Existen tres tipos de sistemas lineales:

Compatible determinado

Si las rectas del sistema son secantes, es decir, se cortan en un solo punto, se dice que es compatible determinado.

Es un sistema que tiene una única solución. Existe un único valor para \(x\) e \(y\) que hace que ambas ecuaciones se cumplan.

Un ejemplo de este tipo de sistema es \(\ \left\{\begin{array}{l} x-2y=0\\ 3x+2y=8\end{array} \right.\)

Gráfico sistema compatible determinado

Compatible indeterminado

Si las rectas del sistema son coincidentes se dice que es compatible indeterminado.

Es un sistema con infinitas soluciones. Hay infinitos valores de \(x\) e \(y\) que hacen que ambas ecuaciones se cumplan. Todos estos se encuentran sobre la misma recta.

Un ejemplo de este tipo de sistema es \(\ \left\{\begin{array}{l} 3x+2y=8\\-6x-4y=-16 \end{array} \right.\)

Gráfico sistema compatible indeterminado

Incompatible

Si las rectas del sistema son paralelas se dice que es incompatible. Es un sistema que no tiene solución. No existe ningún valor para \(x\) e \(y\) que haga que ambas ecuaciones se cumplan.

Un ejemplo de este tipo de sistema es \(\ \left\{\begin{array}{l} x-2y=0 \\3x-6y=-12 \end{array} \right.\)

Gráfico sistema incompatible

Declaraciones de testigos

Al tomar declaraciones sobre un suceso cada testigo aporta su propia versión.

Algunas parecen complementarse entre sí llegando a un punto en común, otras se contradicen por completo y unas pocas coinciden a la perfección, pareciendo incluso pactadas de antemano.

Para aprender a distinguir estas tres situaciones en tu día a día te vendrá bien saber clasificarlas rápidamente.

También tienes que identificar la solución cuando está frente a ti y no dejarte engañar con conclusiones falsas.

Empieza el entrenamiento en 3, 2, 1...

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Métodos para resolver sistemas

Ya sabes resolver sistemas por tanteo de forma visual pero... ¿serías capaz de resolver CUALQUIER sistema lineal de esta manera? ¿Crees que puede haber alguno que se te complique?

¿Y este?

Sistema con imágenes ejemplo

Como puedes ver, la mayor parte de sistemas son difíciles de resolver aplicando solo una táctica visual y de tanteo. Para convertirte en un detective infalible tienes que aprender métodos mucho más eficaces.

Primero has de traducir el sistema al lenguaje algebraico: si llamamos \(x\) a la huella e \(y\) a las esposas, el sistema anterior se traduce como

Ejemplo sistema ecuaciones

Después tienes que aplicar uno de los cuatro métodos que se explican a continuación.

Método gráfico

Ejemplo sistema ecuaciones

Paso 1

El método gráfico consiste en representar ambas rectas y calcular, si existe, el punto de corte entre ambas.

Para representar las rectas haremos una tabla de valores para cada una.

Recta 1 \(\rightarrow \ x+4y=1\)

\(x\)	1	5
\(y\)	0	-1

Recta 2 \(\rightarrow \ 2x+y=-5\)

\(x\)	0	-2
\(y\)	-5	-1

Paso 2

Representamos las rectas: de color rojo \( \rightarrow\ x+4y=1\); y de color verde \( \rightarrow\ 2x+y=-5\).

Método gráfico

El punto de corte entre ambas rectas es \((-3,1)\) por lo que la solución del sistema es \(x=-3\) e \(y=1\).

Método de sustitución

Ejemplo sistema ecuaciones

Paso 1

Despejas una de las dos incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Por ejemplo, en la primera ecuación puedes despejar fácilmente la variable \(x\).

Método de sustitución paso 1

Paso 2

Sustituyes la incógnita despejada en el paso anterior en la ecuación que todavía no se ha usado. Obtienes así una ecuación de primer grado que hay que resolver.

Método de sustitución paso 2

Paso 3

Calculas la otra variable sustituyendo el valor conocido.

Método de sustitución paso 3

Método de igualación

Ejemplo sistema ecuaciones

Paso 1

Despejas la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Por ejemplo, puedes despejar la \(x\) en ambas ecuaciones.

Método igualación

Paso 2

Igualas ambas expresiones y resuelves la ecuación de primer grado resultante.

Método de igualación paso 2

Paso 3

Calculas la otra variable sustituyendo

Método de igualación paso 3

Método de reducción

Ejemplo sistema ecuaciones

Paso 1

El objetivo es conseguir el mismo coeficiente para la misma variable en ambas ecuaciones. Para ello podrás multiplicar las ecuaciones por los números que necesites.

Por ejemplo, para poner el mismo coeficiente en la \(x\) es necesario calcular el mínimo común múltiplo de sus coeficientes mcm(1,2)=2. Bastará con que multipliques la primera ecuación por 2 y dejes la segunda ecuación como está.

Método de reducción paso 1.1

El nuevo sistema a resolver, equivalente al original, es

Método de reducción paso 1.2

Paso 2

Sumas o restas ambas ecuaciones para conseguir un coeficiente 0 en la incógnita. Después resuelves la ecuación de primer grado resultante.

En este caso restarás ambas ecuaciones:

Método de reducción paso 2

Paso 3

Calculas la otra variable sustituyendo y despejando en una de las ecuaciones del sistema.

Método de reducción paso 3

Practica la resolución de sistemas

Resuelve al menos 5 sistemas de ecuaciones distintos en tu cuaderno usando el método que consideres más adecuado.

Introduce la solución para comprobar que lo has hecho bien.

https://www.geogebra.org/m/ttv49fag (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/day4mtvy,Sistemas%20de%20ecuaciones%20lineales%20,0,Autor%EDa

Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Débora Pereiro Carbajo

Pintando con sistemas

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método más conveniente en cada caso.

a) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
2x + y = 5 \\
3x - y = 0
\end{array}
\right.\)

b) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
4x + y = 22 \\
3x - 2y = 11
\end{array}
\right.\)

c) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
x - y = 4 \\
3x + 2y = -3
\end{array}
\right.\)

d) \(\;\left\{
\begin{array}{l}x + 2y = 8 \\
2x - y = -\frac{13}{2}\\
\end{array}
\right.\)

e) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
x + 2y = 7 \\
3x - 2y = -15
\end{array}
\right.\)

f) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
2x + 3y = 7 \\
4x + 6y = 10
\end{array}
\right.\)

g) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
x + 2y = 13 \\
3x - 2y = 3
\end{array}
\right.\)

h) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
x + y = -1 \\
2x - 3y = -12
\end{array}
\right.\)

i) \(\;\left\{
\begin{array}{l}
x + 2y = 12 \\
4x - 2y = 3
\end{array}
\right.\)

Representa cada una de las soluciones (si existen) en los ejes cartesianos. ¿Qué silueta se forma?

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