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Manual del detective: capítulo 2

Capítulo 2

Libro con título Chapter 2

Ahora que ya has superado el capítulo 1 y eres un hacha con esto del álgebra, puedes avanzar un poco más. En este capítulo descubrirás las ecuaciones, una herramienta imprescindible para desentrañar casos y misterios en los que intervienen números (o sea, casi siempre).

Bajo este nombre mágico encontrarás la llave que te va a permitir darle la vuelta a los datos que te dan y averiguar cosas que al principio eran desconocidas... Pero bueno, dejemos tanto rollo y empecemos.

¿Qué me dices, vamos con ello?

Lectura facilitada

Ahora que ya has superado el capítulo 1 puedes avanzar un poco más.

En este capítulo descubrirás las ecuaciones.

¿Qué me dices, vamos con ello?

Elementos de las ecuaciones

Científica con rosco
Ecuación

Es una relación mediante un signo \( = \) entre cantidades que no conocemos, utilizando letras y números.

Por ejemplo,

\[ 3x - 1 = x + 3\]

Incógnita

Una o varias letras que representan una cantidad que no conocemos. En el ejemplo anterior la \( x \).

Miembros de una ecuación

Cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados de la igualdad.

    - Primer miembro: \( 3x - 1 \)

    - Segundo miembro: \( x + 3\)

Soluciones de una ecuación

Valor concreto que podemos darle a las letras para que la igualdad sea cierta.

En nuestro ejemplo si sustituimos \( x=2 \), la igualdad es cierta. Fíjate:

   - Primer miembro: \( 3 \cdot 2 - 1 = 5 \)

   - Segundo miembro: \( 2 + 3= 5 \)

Y si sustituimos cualquier otro valor, la igualdad no es cierta, nos da valores diferentes.

Grado de una ecuación

Como habrás visto, en una ecuación hay dos expresiones algebraicas. El grado de la ecuación es el mayor grado de los monomios que contiene.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones.

Por ejemplo, las ecuaciones \( 3x - 1 = x + 3\) y \( 2x = 4\) son equivalentes, ya que la incógnita para ambas es la \(x\), y la solución es \(x=2\).

Resolviendo ecuaciones...

Vamos a reflexionar sobre los pasos que damos para resolver una ecuación. Mira esto...

Ecuación de primer grado con los pasos para resolverla

Podemos hacerlo fijándonos en la ecuación y haciendo preguntas...

¿Qué número tendremos si restándole 10 nos da 14? Claro, 24.

¿Y qué número tendremos si multiplicado por 4 nos da 24? Pues 6, ¿no?

¡Ya tenemos la solución!

Transponer términos

Lo que acabamos de hacer tiene un nombre: transponer términos. ¿Qué significa? Que podemos modificar la ecuación para conseguir otra equivalente que podamos resolver más fácilmente. Claro, siguiendo una regla sencilla:

Al sumar, restar, multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un mismo número se obtiene una ecuación equivalente.

Tiene sentido, ¿no? Y fíjate que es lo que habíamos hecho intuitivamente en el ejemplo de arriba. Volvamos para repasarlo...

Ecuación de primer grado

Partimos de la ecuación inicial... como queremos eliminar el -10 del primer término sumamos +10 a ambos términos, es decir, en la izquierda y la derecha.

Ahora simplemente operamos en la izquierda \( 4x-10+10 = 4x \), y en la derecha \( 10+14 = 24 \)

Vale, hacemos lo mismo con el \( 4x \), para dejar sola a la \( x \) dividimos entre 4, ¿no?

(Recuerda que \( \frac{4x}{4} = x \) )

Hemos conseguido llegar a la \( x \) y tenemos su valor, 6.

Ecuaciones un poco más complicadas

Con lo que sabemos podremos resolver casi cualquier ecuación, pero vamos a ver cómo podemos resolver:

- Ecuaciones con paréntesis.

- Ecuaciones con denominadores.

Ecuaciones con paréntesis

Para resolver una ecuación como esta

\[ 2 (x-6) +1 = -x+4 \]

lo primero que tenemos que hacer es desarrollar los paréntesis... recuerda que:

\[ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \]

Esto nos ayudará a desarrollar los paréntesis que haya en toda la ecuación... Vamos a verlo paso a paso:

Ecuación con paréntesis

Primero observamos los paréntesis que hay y los operamos, en este caso haciendo

\( 2(x-6) = 2x -2 \cdot 6 \)

A partir de aquí resolvemos la ecuación como hemos visto antes...

  • ¡reducimos siempre que podemos!
  • despejamos la \( x \)

Ecuaciones con denominadores

Ahora queremos resolver una ecuación así, en la que aparecen denominadores:

\[ \frac{x}{3} = \frac{1}{15} - \frac{2x}{5} \]

Ecuación con denominadores

Vamos a fijarnos en qué denominadores tenemos: son 3, 15 y 5.

Calculamos el m.c.m. de todos ya que este número nos permitirá "eliminar" los denominadores: en este caso el m.c.m. es 15.

Si multiplicamos por 15 ambos miembros, como 15 es múltiplo de todos los denominadores, el resultado será que los "eliminamos". Nos queda una ecuación ya sin denominadores.

A partir de aquí seguimos como en los casos anteriores, despejamos y conseguimos llegar finalmente al valor de \( x \).


Nota: también tendremos el mismo efecto si ponemos 15 como denominador común de todos los términos, y al multiplicar por 15 desaparecen los denominadores.

Ecuaciones de primer grado

Practica lo que hemos visto hasta ahora resolviendo las siguientes ecuaciones. Utiliza la barra (/) si en el resultado aparecen fracciones.

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1) \( 75 -5x = 3x+3 \: \Rightarrow \:  x= \) @@9@@

2) \( 2(x-2) = -(7-x) \: \Rightarrow \:  x= \) @@-3@@

3) \( 3x-(x+1)=x-2 \: \Rightarrow \:  x= \) @@-1@@

4) \( x-3(x+5)=3x+10 \: \Rightarrow \:  x= \) @@-5@@

5) \( 60x-1=3(1+12x) \: \Rightarrow \:  x= \) @@1/6@@

6) \( \dfrac{3}{2}x + 8 = \dfrac{3}{5}x - 1  \: \Rightarrow \:  x= \) @@-10@@

7) \( \dfrac{x}{2} + \dfrac{2x}{3} - \dfrac{5x}{6} = 5x - 14 \: \Rightarrow \:  x= \) @@3@@

8) \( 2 + \dfrac{3x-1}{15} + \dfrac{x-4}{5} = \dfrac{x+4}{3}  \: \Rightarrow \:  x= \) @@3@@

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De un misterio a una ecuación...

A menudo nos encontramos con un caso en el que no conocemos un valor, pero tenemos otros que nos pueden ayudar a obtenerlo. ¿Y si pudiéramos relacionar unos con otros como en una ecuación? Si podemos hacerlo y también podemos revolverla habremos resuelto el misterio.

Entonces, ¿por dónde empezamos? Pues por entender nuestro problema y conseguir hacer "frases matemáticas con él". Lo haremos leyendo el enunciado de nuestro caso o problema, en el que encontraremos datos y elementos desconocidos (incógnitas).

Por ejemplo

Si a un número le sumamos 3 y calculamos el doble obtenemos 20, ¿de qué número se trata?

¿Qué ecuación podemos plantear?

  • El número será \( x \) (la incógnita), ya que no lo conocemos
  • Si le sumamos 3 tendremos: \( x+3 \)
  • Si además calculamos el doble pondremos: \( 2(x+3) \)
  • Y como nos dice que obtenemos 20, entonces nuestra ecuación será...

\[ 2(x+3) = 20 \]

Y ahora solo tenemos que resolverla.

Otro algo más complicado

Los organizadores de un concierto la primera semana vendieron la mitad de las entradas disponibles, y la segunda semana la tercera parte. Si les quedaron 200 entradas, ¿cuántas había a la venta?

Pensemos...

  • No conocemos el número de entradas que había... pues esa puede ser la incógnita: \( x \)
  • La mitad de las entradas serán \( \dfrac{x}{2} \), y la tercera parte  \( \dfrac{x}{3} \)
  • Las entradas que quedan son todas menos las vendidas:  \( x - \dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{3} \)
  • Y como me dicen que son 200, pues ya puedo poner la ecuación:

\[ x - \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 200 \]

¿Sabrás resolverla?

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