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Cálculo proposicional

Cálculo de deducción natural. Caso 1

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de p Λ q se puede deducir q V r, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 p Λ q Premisa
2 q ,
3 q V r ,

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** *** *** ***
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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Cálculo de deducción natural. Caso 2

1. Demostración: Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de (p Λ s) Λ (p → q) Λ (q → r) se puede deducir r Λ s, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 p Λ s Premisa
2 p → q Premisa
3 q → r Premisa
4 p ,
5 q , y
6 r , y
7 3 ,
8 r Λ s , y

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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CDN - Caso 3

1. En lenguaje natural:

Si el verano se presenta caluroso, provocará una maduración alcohólica precipitada de la uva y esto a su vez mermará la calidad del vino, en conclusión: Si el verano es caluroso se mermará la calidad del vino.

2. En lenguaje simbólico:

  [(p → q) Λ (q → r)] → (p → r)

3. Demostracion: Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de (p → q) Λ (q → r) se puede deducir p → r, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 p → q Premisa
2 q → r Premisa
┌3 p
│4 q , y
└5 r , y
6 p → r , y

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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CDN - Caso 4

Demostración: Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de (p V q) Λ (p → r) Λ (q → s) Λ (s → r) se puede deducir r, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 p V q Premisa
2 p → r Premisa
3 q → s Premisa
4 s → r Premisa
┌ 5 p Supuesto
└ 6 r , y
┌ 7 q Supuesto
│ 8 s , y
└ 9 r , y
10 r , y

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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CDN - Caso 5

1. En lenguaje natural:

Si el ladrón hubiese entrado en la oficina por la puerta principal, se habría registrado en la cámara de vigilancia, pero la cámara de vigilancia no registró nada, por lo que el ladrón no entró por la puerta principal.

2. En lenguaje simbólico:

[ (p → q) Λ ┐q ] → ┐p

3. Demostración: Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de (p → q) se puede deducir ┐p, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 p → q Premisa
2 ┐q Premisa
┌ 3 p
│ 4 q , y
└ 5 q Λ ┐q , y
6 ┐p , y

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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CDN - Caso 6

1. En lenguaje natural

Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; pero sí iremos mañana al concierto. Así pues, la tormenta no continúa.

2. En lenguaje formalizado

Variables proposicionales

  • p: la tormenta Continúa
  • q: anochece
  • r: nos quedamos a cenar
  • s: nos quedamos a dormir
  • t: ir mañana al concierto

[[(p ∨ q) → (r ∨ s)] Λ [(r ∨ s) → ¬t] Λ t ] → ┐p

3. Demostración

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de [(p ∨ q) → (r ∨ s)] Λ [(r ∨ s) → ¬t se puede deducir ┐p, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ****************** ****************
1 (p ∨ q) → (r ∨ s) Premisa
2 (r ∨ s) → ¬t Premisa
3 t Premisa
┌ 4 p Supuesto
│ 5 (p ∨ q) → ¬t Trans C. 1 y 2 (1)
│ 6
¬ (p ∨ q)
 , y
│ 7 ¬p Λ ¬q ,
│ 8 ¬p ,
└ 9 p Λ ¬p , y
10 ¬p , al

(1) Ley de la transitividad del condicional, que dice: si [(A → B) Λ (B → C)] → (A →  C)

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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CDN - Caso 7

1. En lenguaje natural:

Si dos gases tienen la misma temperatura entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética. Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas. Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales. Por consiguiente si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión.

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

  • t: Tener la misma temperatura.
  • c: Tener las moléculas la misma energía cinética.
  • v: Tener volúmenes iguales.
  • m: Tener igual número de moléculas.
  • p: Tener presiones iguales.

[(t → c)  Λ  (v → m)  Λ  (m Λ c) → p] → [(t Λ v) →p]

3. Demostración: Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de (t → c)  Λ  (v → m)  Λ  (m Λ c) → p se puede deducir (t Λ v) →p, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 t → c Premisa
2 v → m Premisa
3 (m Λ c) → p Premisa
┌ 4 t Λ v Supuesto
│ 5 t ,
│ 6 v ,
│ 7 c , y
│ 8 m , y
│ 9 m Λ c , y
└10 p , y
11 (t Λ v) →p , y

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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CDN - Caso 8

1. En lenguaje natural:

El gerente de una empresa es el encargado de muchas de las labores más importantes. Si es así, entonces ser gerente es un cargo difícil de manejar. La gente dice que, o los gerentes son personas de las que depende la empresa, o que sólo se dedican a despedir y contratar trabajadores. Pero si ellos sólo se dedican a contratar y despedir trabajadores, entonces ser gerente no es un cargo difícil de manejar. Además, si la gerencia no es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen, entonces sería falso que la gente diga que los gerentes son personas de las que depende la empresa y que el gerente es el encargado de muchas de las labores más importantes. Por lo tanto, la gerencia es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen.

2. En lenguaje simbólico

Variables proposicionales

  • p: El gerente de una empresa es el encargado de muchas de las labores más importantes.
  • q: Ser gerente es un cargo difícil de manejar.
  • r: La gente dice que los gerentes son personas de las que depende la empresa.
  • s: La gente dice que los gerentes sólo se dedican a contratar y despedir trabajadores.
  • t: La gerencia es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen.
[p Λ (p → q) Λ (r V s) Λ [┐t → ┐(r Λ p)]] → t

3. Demostración: Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si partiendo de p Λ (p → q) Λ (r V s) Λ [┐t → ┐(r Λ p) se puede deducir t, es decir si esta argumentación es una tautología.

*** ** ************ ********
1 p Premisa
2 p → q
3 r V s
4 s → ┐q
5 ┐t → ┐(r Λ p)
6 q , y
7 ┐s , y
8 r , y
9 r Λ p , y
10 ┐┐t , y
11 t ,

Copia y pega los símbolos que necesites:

** ** ** ** ** ** ** **
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Supuesto
┐ Λ V → ↔ ┌ │ └

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Y ahora tú...

CDN - Caso 10

Práctica con el cálculo de deducción natural

1. En lenguaje natural:

Si x = 1 e y = 2, entonces z = 3. Si, si y = 2, z = 3 entonces w = 0. x= 1. Por consiguiente w = 0

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

p: x =1
q: y =2
r: z =3
s: w = 0

3. Demostración:

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si esta argumentación es formalmente correcta.

CDN - Caso 11

1. En lenguaje natural:

Si un triángulo tiene tres ángulos, un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos. Un triángulo tiene tres ángulos y su suma vale dos ángulos rectos. Si los rombos tienen cuatro ángulos rectos, los cuadrados no tienen cuatro ángulos rectos.
Por tanto, los rombos no tienen cuatro ángulos rectos.

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

p: un triángulo tiene 3 ángulos
q: un cuadrado tiene 4 ángulos rectos
r: la suma vale dos ángulos rectos
s: los rombos tienen cuatro ángulos rectos

CDN - Caso 12

1. En lenguaje natural:

Si el ejército marcha contra el enemigo, tiene posibilidades de éxito; y arrasará la capital enemiga, si tiene posibilidades de éxito. O el ejército marcha contra el enemigo, o se repliega rápidamente. Si se repliega rápidamente, el enemigo atacará su retaguardia; y perderá la guerra, si el enemigo ataca su retaguardia. Por tanto, si no arrasa la capital enemiga, perderá la guerra..

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

p: el ejército marcha contra el enemigo
q: tiene posibilidades de éxito
r: arrasará la capital enemiga
s: se repliega rápidamente
t: el enemigo atacará la retaguardia
u: perderá la guerra

3. Demostración:

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si esta argumentación es formalmente correcta.

CDN - Caso 13

1. En lenguaje natural:

Si el cometa Halley pasa cerca de la Tierra, podremos observarlo con un telescopio; pero no pasará cerca de la Tierra, si las condiciones no son propicias. Si se envía una sonda espacial a su encuentro, las condiciones serán propicias. Si pasa cerca de la Tierra y las condiciones son propicias, podremos apreciar la belleza del Halley. O las condiciones no son propicias o podremos observar el Halley con un telescopio. Así pues, si el cometa Halley pasa cerca de la Tierra o se envía una sonda espacial a su encuentro, podremos apreciar la belleza del
cometa Halley.

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

p: El Cometa Halley pasa cerca de la Tierra
q: podremos observarlo
r: las condiciones son propicias
s: se envía una sonda
t: apreciaremos la belleza del Halley

3. Demostración:

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si esta argumentación es formalmente correcta.

CDN - Caso 14

1. En lenguaje natural:

Si la descripción bíblica de la cosmología es estrictamente correcta, el Sol no fue creado hasta el cuarto día. Y si el Sol no fue creado hasta el cuarto día, no puede haber producido la sucesión del día y la noche durante los tres primeros días. Pero, o bien las Escrituras usan la palabra 'día' en un sentido diferente al aceptado usualmente, o bien el sol debe haber sido la causa de la sucesión del día y la noche durante los tres primeros días. De todo ello se desprende que, o bien la descripción bíblica de la cosmología no es estrictamente correcta, o bien 'día' es
utilizado en las Escrituras en diferente sentido al que usualmente se acepta.

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

p: La descripción bíblica de la cosmología...
q: El Sol fue creado el cuarto día
r: puede haber producido la sucesión...
s: Las Escrituras usan la palabra día...

3. Demostración:

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si esta argumentación es formalmente correcta.

CDN - Caso 15

1. En lenguaje natural:

Si  Elvira  opina  que  hay  que  hacer  lo  posible  para  ser  feliz,  abandonará  a  su amante  o  se  dedicará  a  su  profesión.  Si  se  dedica  a  su  profesión,  no  dejará  a  su marido. En conclusión, si Elvira opina que hay que hacer lo posible para ser feliz, entonces, dejará a su marido aunque no abandone a su amante..

2. En lenguaje simbólico:

Variables proposicionales:

p: Elvira opina que...
q: abandonará a su amante
r: se dedicará su profesión.
s: dejará a su marido.

3. Demostración:

Aplica las reglas del cálculo de deducción natural para demostrar si esta argumentación es formalmente correcta.