1.1. Problema inicial
Incendio en el hospital
A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 8 m de longitud que consta de 20 peldaños distribuidos uniformemente. Al apoyar la escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a 30 cm del suelo.
Debido a que las llamas ascienden rápidamente hacia arriba, es necesario averiguar si es posible con dicha escalera evacuar al tercer piso del hospital. Cada planta tiene 2,5 m de altura. ¿Podrán ser rescatados?
Actividad 1
Realiza la construcción de la situación que presenta el problema utilizando el siguiente applet GeoGebra.
Utiliza la herramienta 
para medir la altura que alcanza la escalera y justificar si podrá o no alcanzar el tercer piso del hospital.
Guarda el archivo como actividad_hospital.
Solución
En el siguiente applet tienes un modelo de la construcción que debes hacer. Si activas la casilla "Ver medidas", puedes ver la solución del problema que se obtiene con GeoGebra.
Respuesta al problema inicial
Teniendo en cuenta la construcción hecha con GeoGebra, la escalera alcanza una altura de 6 m y como los tres pisos de 2,5 m tienen una altura total de 7,5 m, podemos afirmar que la longitud de la escalera no será suficiente para poder desalojar la tercera planta del hospital...
Actividad 2
¿Cómo podríamos resolver el mismo problema sin utilizar GeoGebra?
¿Existe alguna relación entre los segmentos conocidos y los que hay que hallar?
Para contestar a estas preguntas realiza las siguientes actividades en el siguiente applet:
a. Usa una calculadora para hallar las razones de segmentos correspondientes. Es decir, las razones OA/OA', OB/OB' y AB/A'B'.
b. Modifica las longitudes de los segmentos moviendo el punto B y vuelve a hallar las razones. ¿Siguen siendo iguales las tres razones?
c. Marca la casilla "Ver razones". Modifica las longitudes de los segmentos moviendo de nuevo el punto B y comprueba si las tres razones son iguales en todos los casos.
d. Reinicia el applet y marca de nuevo la casilla "Ver razones". Ahora mueve el punto B'. ¿Qué sucede ahora con las tres razones que se muestran?
¿Cuántas veces contiene el segmento OA' al OA? ¿Y el OB' al OB? ¿Y A'B' a AB?
e. Escribe un enunciado que resuma lo que sucede.
Actividad 3
Volviendo al problema del hospital....
En el siguiente applet se muestra la construcción relativa al problema inicial.
a. Utiliza la calculadora para calcular las mismas tres razones entre segmentos correspondientes.
b. Activa la casilla "Ver razones" y comprueba si has hechos los cálculos correctamente.
c. En este caso, ¿cuántas veces contiene el segmento OA' al OA? ¿Y el OB' al OB? ¿Y A'B' a AB?
Conclusiones
Parece que se cumple siempre la igualdad entre razones de segmentos correspondientes, esto es:
Podemos suponer que esta igualdad entre las razones de segmentos correspondientes se va a cumplir en todos los casos. A través del applet de la actividad 2 podemos comprobar que se cumple en "muchos" casos, pero esto no es una demostración matemática. ¿Bajo qué condiciones, podemos afirmar que es siempre verdadera?
Primero:
Volveremos a utilizar GeoGebra para intentar concretar en qué construcciones se cumple la igualdad.
Segundo:
Plantearemos una hipótesis.
Tercero:
Demostraremos esa hipótesis de un modo geométrico.
Actividad 4
Todas las construcciones que hemos utilizado hasta ahora presentan la misma configuración geométrica:
- Los segmentos AB y A'B' son paralelos.
- Los triángulos OAB y OA'B' son rectángulos.
¿Serán necesarias estas dos condiciones para que se cumpla la igualdad entre las razones de segmentos correspondientes?
Podemos comprobarlo realizando las siguientes actividades en el siguiente applet.
a. Activa la casilla AB y A'B' paralelos. Mueve el punto B para modificar la dirección de los lados AB y A'B'. ¿Son iguales entre sí las razones entre los segmentos correspondientes?
Mueve el punto P para cambiar la dirección de las secantes y contesta a la misma pregunta.
b. Mueve el punto B' para hacer variar la longitud de los segmentos. ¿Son iguales entre sí las tres razones? Prueba de nuevo a mover el punto P y fíjate si varían las razones.
c. Desactiva la casilla AB y A'B' paralelos y activa AB y A'B' no paralelos. Mueve el punto A' para hacer variar la dirección del segmento A'B' sin que varía la de AB. ¿Son iguales entre sí las tres razones?
Conclusiones:
Parece que si AB y A'B' son paralelos entonces se cumple que
En otro caso, no.
No parece que sea necesario que los triángulos OAB y OA'B' sean rectángulos.
A continuación, intentaremos demostrar esta hipótesis de un modo geométrico.
Observación:
Las construcciones realizadas hasta el momento posiblemente te recuerden a algo que ya has estudiado en otro curso. Tómate tu tiempo y haz memoria, consulta tu cuaderno del año anterior... ¿Ya te acuerdas?