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3.5. Crónica de una parábola

 

Glosario

Crónica

Personajes con un mamut, una tabla con texto, una bola del mundo y una línea temporal.

Definición:

En prensa, sinónimo de artículo. También puede referirse a una historia contada a través del tiempo.

Ejemplo:

En el mirador de la foto se ha puesto coto a la zona que hay para asomarse a ver las vistas con una valla protectora.

Cóncavo

Antena parabólica

Definición:

En matemáticas:

- figura que se curva hacia adentro,

- curva cuya parte más ancha está hacia arriba (con forma de "v").

Ejemplo:

El interior de una antena parabólica tiene forma cóncava.

Las antenas parabólicas se orientan hacia arriba para concentrar la señal.

Convexo

Círculo

Definición:

En matemáticas:

- figura que se curva hacia afuera,

- es lo contrario de cóncavo.

Ejemplo:

El círculo es convexo.

Curvatura

línea curva

Definición:

La curvatura estudia la forma de las curvas, líneas que no son rectas.

Ejemplo:

La carretera tenía muchas curvas, alguna con demasiada curvatura.

Eje de simetría

Mitad

Definición:

Es una recta que divide a una figura en dos partes idénticas.

Ejemplo:

En una circunferencia, cualquier diámetro es un eje de simetría.

Vértice

Cuadrado con el vértice señalado.

Definición:

En matemáticas puede ser:

- el punto donde se cortan los lados de un ángulo,

- el punto donde se unen varias caras de una figura,

- el punto más alto o más bajo de una curva.

Ejemplo:

En los vértices de un cuadrado, sus lados forman un ángulo recto.

Tiro a canasta

Mientras preparábamos un reportaje deportivo para la sección local, un fotógrafo de nuestro periódico captó una secuencia de imágenes curiosa: el balón de una persona volando hacia la canasta dibuja en el aire una curva.

Al analizar la trayectoria se observa una gráfica que podría ser de una parábola. ¿Será cierto?

https://www.geogebra.org/m/qth7mvz2 (Ventana nueva)

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Autoría: Débora Pereiro

La función cuadrática o parábola

¿Qué es?

ParábolaLa función cuadrática es una función cuya gráfica es una parábola.

Su expresión algebraica, o fórmula, es de la forma: \[f(x)=ax^2+bx+c\] siendo a\(\neq 0\), b y c números cualesquiera.

¿Recuerdas los polinomios del tema anterior?

Una función cuadrática también puede verse como un polinomio de grado 2.

En ese caso suele escribirse de la forma P(x) = ax2 + bx + c.

¿Cómo es?

Parábola con curvatura hacia abajoLa primera diferencia entre las parábolas y las rectas es que las parábolas son curvas.

Analizamos la forma de la curva:

Vértice: es el punto donde la curvatura es más acusada.

Si este vértice es el punto más bajo, es un mínimo, y si es el punto más alto, es un máximo, como el que se ve en esta imagen.

Como la gráfica se obtiene de dar valores a la x de la fórmula, se puede anticipar si tiene un máximo o un mínimo analizando la expresión.

Hay un máximo si a < 0 y mínimo si a > 0. También decimos que la forma es cóncava hacia abajo (o convexa) o cóncava hacia arriba (cóncava).

Eje de simetría: Es una recta que divide a la parábola en dos partes iguales. Pasa por el vértice.

Si doblamos la parábola por su eje, ambos lados de la gráfica se superponen.

¿Cómo se dibuja?

Gráfica de una parábola con sus elementosPara dibujar una parábola se necesitan al menos tres puntos.

Si eliges el vértice, uno antes de él y otro después, sería suficiente.

Pero, ¿cómo localizar el vértice?

Fácil, identifica los coeficientes de la fórmula: a, b y c; y calcula -b / 2a, ese es el valor de x donde está el vértice.

Ejemplo:

Representa gráficamente f(x) = x2 - 4x + 3

  • Identifica sus coeficientes: a = 1; b = -4; c = 3.
  • Fíjate que como a es positivo la parábola está curvada hacia arriba, tiene un mínimo.
  • La x del vértice se localiza calculando -b / 2a; en este caso es 4 / 2 = 2

Una vez localizado el vértice ya tienes también el eje de simetría, x = 2.

Ahora haz una tabla con tres valores, por ejemplo el 1, el 2 y el 3, halla su imagen f(x), y únelos formando una curva, ya tienes la parábola.

Tabla de la parábola
x 1 2 3
f(x) 0 -1 0

¿Y los cortes?

TijeraCorte con el eje Y

  • El corte con el eje Y está donde x = 0.

Ese es el más sencillo de calcular, basta con sustituir en la expresión de la parábola la x por un cero.

Ejemplo:

f(x) = x2 - 4x + 3; su corte con el eje Y es f(0) = 0 - 0 + 3 = 3.

Ahora forma el punto con las dos coordenadas; corta en el (0,3).

Parábola con sus elementos incluidos los cortesCorte con el eje X

  • El corte con el eje X está donde y = 0.

En la unidad anterior aprendiste qué es una ecuación de segundo grado: \[ax^2+bx+c=0\]

Ahora cobra sentido gráfico, ya que al igualar a cero estás hallando un punto en el que la segunda coordenada es cero, el corte con el eje X.

Recuerda que para resolver ecuaciones de segundo grado aplicabas la fórmula:

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Ejemplo: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\); su corte con el eje X se halla resolviendo \(0 = x^2 - 4x + 3\)

Identifica sus coeficientes: a = 1; b = -4; c = 3.

Sustituye en la fórmula de la ecuación de segundo grado: \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{4^2 - 4 · 1 · 3}}{2 · 1}\)

\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{16 - 12}}{2 · 1}\) = \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}\) = \(x=\dfrac{4\pm2}{2}\)

Has obtenido dos soluciones, x = 1 y x = 3.

Para poder dibujarlos completa las coordenadas; son el (1,0) y el (3,0).

Visor de parábolas

https://www.geogebra.org/m/y8henqwr (Ventana nueva)

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Autoría: Débora Pereiro

Iluminación con gráficos

Lunes 17 de marzo
El Mathington Post

LOCAL

Iluminación insuficiente en el parque de Santa Cristina

Desde el vecindario de Santa Cristina han alertado sobre la escasa iluminación en algunas zonas del parque botánico. Las quejas se centran en pequeños accidentes ocurridos recientemente (caídas, tropiezos, ...). 

Esto ha llevado al Ayuntamiento de Oleiros a tomar medidas: han instalado nuevas farolas que proyectan la luz con forma parabólica, pero sospechan que su colocación no es óptima.

Según nuestras fuentes, el equipo técnico del ayuntamiento ha señalado que el radio de iluminación efectiva debe abarcar un área de al menos 4 metros de ancho en el suelo.

¿Cumplen con esta condición las nuevas instalaciones?

Esa es la cuestión a analizar.

Farola

Cada farola tiene una distribución donde la altura de la luz proyectada viene dada por la expresión \(f(x)=-2x^2+3x+5\) siendo \(x\) la posición horizontal sobre el suelo medida en metros.

Usa el aplicativo de GeoGebra para representar la función anterior y encuentra así los puntos de corte de la luz con el suelo.

La luz toca el suelo en los puntos x= y x= , por lo que el ancho de la zona iluminada es de metros.

cumple con el requisito establecido por los técnicos.

Comprueba que los puntos de corte con el eje X se corresponden con las soluciones de la ecuación \(-2x^2+3x+5=0\).

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Parábolas en todas las secciones

Con las parábolas tienes ahora una nueva herramienta con la que podrás documentar nuevos artículos con el rigor matemático que caracteriza a El Mathington Post.

Atrévete con estos. ¡Tú puedes!

Mundial de atletismo

Éxito en los mundiales de atletismo de la gallega Ana Riveiro.

Gráfica de salto de longitud

La conocida atleta ribeirense, Ana Riveiro, protagonizó un espectacular salto en el que alcanzó los m de longitud. 

El salto ha sido analizado en el centro de alto rendimiento de Santiago y se ha conseguido modelizar la ecuación de la trayectoria. Podrán estudiar el salto detenidamente, y si es posible, mejorar todavía más el rendimiento de la atleta.

El Mathington Post, en exclusiva, publica la gráfica de la trayectoria de ese salto. Puede apreciarse que la atleta llega a alcanzar m de altura antes de comenzar su descenso.

Deportes

El ayuntamiento de Melide organiza por primera vez la liga gallega de hockey sobre patines. Dispone de un pabellón deportivo convenientemente dotado de porterías y vallas y espera que sea suficiente para poder disputar en él, el último fin de  semana de junio, los partidos de liga. Hasta que se cierre el plazo de inscripción no se sabrá el número definitivo de equipos inscritos, pero la organización ya ha avanzado que será todo un éxito.

Recordemos que, al ser una liga, todos los equipos deben jugar contra todos los demás en un partido de ida y otro de vuelta, por lo que el número de partidos que habrá vendrá dado por la fórmula:

y = x·(x-1)

donde x es el número de equipos inscritos e y el número de partidos que hay en la liga. O, de forma más sencilla, y = x2 - x.

La organización ya está haciendo cálculos y sabe que, si se inscriben 4 equipos, habrá que organizar partidos. Como cada partido dura una hora, necesitarían usar el pabellón deportivo durante horas.

Sin embargo, si se inscriben 10 equipos, serán los partidos que habrá que jugar y la capacidad del pabellón estaría sobrepasada. Habría que pensar en alguna solución alternativa: prolongar la competición varias semanas o hacer un torneo en lugar de liga. Por el momento, todas las opciones están abiertas.

Cultura

Está a punto de salir a la venta la nueva entrega de  la saga de Jairo López. Recordemos que su autor, J. L. Robles, se ha convertido en una de las personas más ricas de Galicia gracias a una maravillosa combinación de talento y matemáticas. En la entrevista que ha tenido con él nuestro corresponsal en Lugo, le ha confesado que tiene una fórmula que le permite calcular las ganancias en función del precio de venta del libro.

Para calcularla ha tenido en cuenta que, si vende los libros a un precio muy bajo, vende muchos pero gana poco con cada libro. En cambio, si los vende muy caros, vende pocos pero gana mucho con cada uno.

La fórmula que utiliza es:

g(x) = -x2 + 48x - 4

donde x es el precio del libro (€) y g(x) son las ganancias en miles de euros.

Aunque todavía se desconoce cuál será el precio con el que saldrá el último libro, podemos avanzar que, si el precio fuese de 20 €, las ganancias que obtendría el autor con esta nueva entrega serían de €. Con un precio de venta de 30 €, las ganancias serían de €.

Pero nuestro equipo de expertos en el tema ha calculado que J. L. Robles podría conseguir incluso unas ganancias de € fijando el precio en 24 €.

Local

La histórica pastelería santiaguesa "La fresa" ha tenido que echar el cierre temporalmente mientras se replantea su futuro. Al parecer, la creación de un nuevo bollito relleno de chocolate caliente y arándanos ha disparado las ventas de tal forma que la empresa no ha podido satisfacer la producción sin que los costes se le disparasen. Esto ha llevado a la pastelería a "morir de éxito".

En una exclusiva entrevista para el Mathington Post, la propietaria de "La fresa", Dulce Bueno, nos explica la situación que están atravesando.

Mathington Post: Que una pastelería incremente las ventas debería ser una buena noticia. ¿Por qué no es así?

Dulce Bueno: Al principio, todo iba maravillosamente bien, porque al producir más, el coste por unidad incluso bajaba. Teníamos muchas ventas y ganábamos más con cada una. Pero cuando las ventas se dispararon, hubo que pagar horas extras, nueva maquinaria... y los nuevos costos no compensaban las ganancias.

MP: ¿Quiere eso decir que vamos a tener que renunciar a los bollitos de chocolate caliente con arándanos? Me daría usted un disgusto.

DB: No, en absoluto. Vamos a repensar nuestro modelo de producción. Queremos satisfacer a nuestra clientela siempre y cuando no nos haga perder dinero.

Nuestra gestoría ya ha calculado que nuestras ganancias diarias siguen el modelo:

G(x) = -0,01x2 + 2,2x - 50

siendo x el número de bollos que fabricamos.

Fabricando, por ejemplo, 10 bollos, no conseguiríamos compensar los gastos de producción y tendríamos unas pérdidas de €. 

Fabricando 200 bollos, ya tendríamos que pagar horas extras y tendríamos pérdidas de €.

Pero si fabricamos entre 26 bollos y 194 bollos no tendremos pérdidas. Lo ideal, naturalmente, sería fabricar bollos, ya que así tendríamos una ganancia de 71 €.

Ciencia y tecnología

Gráfica de la trayectoria descrita por un chorro de agua

Se está ensayando un sistema de riego en el que el chorro de agua sale disparado a una velocidad de 10 m/s formando un ángulo de 45º con la horizontal.

Con el efecto de la gravedad, el agua cae describiendo una trayectoria parabólica tal y como se puede ver en la imagen.

De esta forma, se podría regar plantas que estuviesen a, aproximadamente, 10 m de distancia del dispositivo.

Como el dispositivo estaría dotado de un sistema de giro, regaríamos toda la circunferencia con centro en el dispositivo y radio 10 m.

El equipo científico ha calculado que la ecuación que determina la altura del agua en cada punto que está a una distancia de x metros del dispositivo es y = x - 0,098x2.

En los próximos días estudiará qué sucede al cambiar el ángulo a 60º. En este caso la ecuación es y = 1,732x - 0,2x2. ¿A qué distancia caerá el chorro de agua?

Aunque habrá que esperar a que el departamento de ingeniería realice las pruebas, nuestro equipo experto en la materia ha calculado que la distancia será de casi m, por lo que se espera que los nuevos resultados mejoren los alcanzados con un ángulo de 45º.

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Periodismo de datos

Imagen del diario de aprendizaje en el proxecto cREAgal. Representa un lápiz y un cuaderno con el logotipo del proyecto en la portada.

Has superado con éxito el Programa de Formación en Periodismo Matemático del Mathington (PFPMM), ¡enhorabuena!

Tus conocimientos en periodismo de datos ayudarán a las personas que lean tus artículos a entenderlos mejor.

¿Qué te ha parecido la experiencia? Reflexiona sobre las inseguridades y dificultades superadas en esta primera toma de contacto.

Estás a punto de embarcarte en el reto de crear un artículo, por eso, es un buen momento para pensar cómo realizarlo.

Es hora de completar el bloque 3 de tu diario de aprendizaje. 

Creado con eXeLearning (Ventana nueva)