¿Lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta.

Su expresión algebraica, o fórmula, es de la forma f(x) = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

- El caso n = 0 lo estudiaste anteriormente, es una función de proporcionalidad directa.

- El caso n ≠ 0; se llama función lineal afín, o simplemente función afín.

¿Recuerdas los polinomios del tema anterior?

Una función lineal también puede verse como un polinomio de grado 1. En ese caso suele escribirse de la forma P(x) = ax + b, a es la m y b es la n.

Pendiente

La pendiente de la recta da una medida de su inclinación respecto al eje X.

Habitualmente se representa por la letra m, en la fórmula es el número que multiplica a la x.

Para calcular la pendiente de una recta a partir de su gráfica basta calcular la variación de y frente a la variación de x.

Esto se hace eligiendo dos puntos de la recta y comparando las coordenadas del segundo con las del primero (el segundo es el de mayor valor de x).

El resultado puede ser positivo, negativo o cero.

En el  primer caso la recta es creciente, en el segundo es constante y en el tercero es decreciente.

En el ejemplo de la tercera imagen:

• Toma dos puntos, (-1,3) y (3,1).
• Resta los valores de la coordenada y del segundo menos la del primero, 1 – 3 = -2
•  Resta los valores de la coordenada x del segundo menos la del primero,3 – (-1) = 4
• El cambio en sentido vertical es de -2 unidades, y el cambio en el sentido horizontal es de 4 unidades.
• La medida de la inclinación, la pendiente, es el cociente del cambio vertical, entre el cambio horizontal:

\(\frac{\textcolor{limeGreen}{-2}\ }{\textcolor{SkyBlue}{4}\ }\) = \(\frac{\textcolor{limeGreen}{-1}\ }{\textcolor{SkyBlue}{2}\ }\)

• Por tanto, la expresión de la recta de la imagen es \(f(x) = \frac{-1}{2}x+n\)

Cortes

Con el eje Y

Es el punto en el cual x = 0.

 Observa que si en la función f(x) = mx + n, calculas f(0) = 0 + n = n

Por eso al valor de n  se le llama "la ordenada (y) en el origen (0)".

En los problemas es importante interpretar el significado contextualizado de ese valor.

Ejemplo:

En el problema del apartado 3.1. que habla de los ahorros de María, el eje X indica tiempo y el eje Y indica dinero.

El punto de corte con el eje Y es la cantidad de dinero que tiene al principio, en la semana 0.

f(0) = 2 · 0 + 15 = 15 €

Con el eje X

Es el punto en el cual y = 0

Para hallarlo tendrás que resolver una ecuación de primer grado, como la que has visto en cursos anteriores.

Al igual que el corte con el eje Y, es importante, dentro de un problema, interpretar su significado contextualizado.

Ejemplo:

En el caso de los ahorros de María, el punto de corte con el eje X es el obtenido al resolver la ecuación 0 = 2x + 15.

Despejando x = -15/2 = -7,5 semanas.

No tiene sentido en este problema dibujar este punto porque estaría representando un tiempo negativo, al igual que el resto de los que están antes del cero.

¿Faltan datos?

En ocasiones, no se sabe el valor de m, pero sí el de n y viceversa, sabemos el de m pero no el de n.

¿Podríamos hallar la fórmula? necesitamos, al menos, otro dato. Por ejemplo, un punto por el que pasa la recta.

Caso 1: falta la pendiente (m), pero se conoce la ordenada en el origen (n) y un punto por el que pasa la recta.

• Hay que sustituir en la fórmula los valores del punto y despejar m.
• Ejemplo: los datos son la fórmula f(x) = mx – 1 y el punto (2,3).
  1. Sustituir el punto en la fórmula 3 = m · 2 – 1
  2. Despejar (3 + 1) / 2 = m = 4 / 2 = 2

Caso 2: falta la ordenada en el origen (n), pero se conoce la pendiente (m) y otro punto por el que pasa la recta.

• Hay que sustituir en la fórmula los valores del punto y despejar n.
• Ejemplo: los datos son la fórmula f(x) = 2x + n y el punto (2,3)
  1. Sustituir el punto en la fórmula 3 = 2 · 2 + n ⇒ 3 = 4 + n
  2. Despejar 3 – 4 = n = -1

Caso 3: faltan  la pendiente (m) y la ordenada en el origen (n), pero se conocen dos puntos por los que pasa la recta.

• Hay que sustituir en la fórmula los valores de cada uno de los puntos.
• Ejemplo: los datos son el punto (2,3) y el punto (1,1)
  1. Sustituir el punto (2,3) en la fórmula 3 = m · 2 + n
  2. Sustituir el punto (1,1) en la fórmula 1 = m · 1 + n
  3. Resolver el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, para hallar m y n.

Repasa del tema anterior cómo se resuelven estos sistemas. Comprueba que la solución es m = 2 y n = -1.

Curiosidades

En la expresión de f(x) = mx + n, a "m" y "n" también se les llaman parámetros.

Consulta en el diccionario de la Real Academia Española el significado de parámetro y razona por qué se les da este nombre.

Investiga qué ocurre cuando dejas fijo uno de los parámetros y cambias el otro en la ecuación de una recta.