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3.7. Pistoletazo de salida

Contar antes de correr

Dejar huella: lo ideal es que cada año la romería tenga algo nuevo y especial. Por ejemplo, siempre hemos querido organizar una carrera popular solidaria, ya que pensamos que no sería solo correr... también es una forma de participar, recordar y ayudar a los que más lo necesitan.
Línea de salida en una carrera popular multitudinaria, donde corredores y corredoras se relajan antes del pistoletazo de salida

¡Pues este es el año! Decidís que ya es hora de tener una carrera popular solidaria como parte de la romería. Pero no basta con apuntar nombres y preparar la salida: hay que concretar recorridos, categorías, modalidades, etc.

Es necesario saber de cuántas formas puede organizarse la carrera y, para ello, contar bien será la clave para que todo funcione.

Lectura facilitada

Queréis organizar una carrera solidaria.

Será parte de la romería.

Hay que decidir recorridos, categorías y modalidades.

¿De cuántas formas se puede organizar?

Para saberlo, hay que contar bien.

Se hace saber...

Preparados, listos...

Pensando en la carrera, habéis decidido dar premios al primer puesto, al segundo y al tercero.

¿De cuántas formas pueden repartirse esos puestos todas las personas participantes?

  • Si solo participasen tres personas, A, B y C, las opciones son: (A, B, C); (A, C, B); etc.
  • Se trata de ordenar 3 elementos. Son permutaciones de 3.
  • Como viste anteriormente, P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6 opciones.

¿Y si participan 5 personas?

  • Se trata de elegir, de forma ordenada, 3 personas entre 5.
  • Son variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.
  • V5,3 = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60 opciones de llegada.
“Antes de organizar, pensad bien qué estáis contando. No es lo mismo ordenar que agrupar y por ahí pueden venir los fallos."
Herminia

Acompañantes del pregón

La persona elegida para dar el pregón debe escoger a dos ayudantes de entre los tres componentes de la comisión de fiestas. ¿Cuántas posibilidades existen?

  • En este caso las dos personas elegidas harán la misma tarea, por tanto, no importa quién se elige en primero o segundo lugar.
  • El número de opciones se halla calculando las combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2.
  • Como viste anteriormente, C3,2 = 3! / (2! · 1!) = 3 opciones.

Recordatorio

Recuerda que las fórmulas anteriores, ya trabajadas con las sucesiones, están relacionadas con el número factorial.

      Tu calculadora tiene tres teclas que te ayudarán a hacer estos cálculos de forma sencilla.

      En este modelo de ejemplo, son las expresiones que están sobre la tecla, de color amarillo:

      Imagen de la tecla de la calculadora con el número factorial Imagen de las teclas de la calculadora para hallar nPr y nCr

      • La primera, x!, es para calcular el factorial de un número.
      • La segunda, nPr, es para calcular el factorial de (n) entre el factorial de (n-r): n! / (n-r)!.
      • La tercera, nCr, es para calcular el número combinatorio:

      \[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \]

      Nota: La tecla para las variaciones es la que pone nPr. El motivo es que en muchos lugares se le llama del mismo modo a la elección ordenada de todos los elementos o de una parte.

      Apoyo visual

      Técnicas de recuento

      El reto de la salida

      Pregunta

      Corredores en una pista de atletismoDorsales entregados, recorridos señalizados y todos en sus posiciones.

      Le habéis concedido a doña Herminia el honor de dar el pistoletazo de salida.

      Antes de comenzar, necesitáis resolver algunas dudas relacionadas con el recuento de todas las posibilidades que pueden darse en algunas situaciones.

      En vuestra carrera popular hay varios modelos de participación, son los siguientes:

      • 2 recorridos (5K y 10K)
      • 3 categorías (sub 20, senior y máster)
      • 2 modalidades (andaina y carrera)

      1. ¿Cuántas formas de participación distintas existen?

      Respuestas

      7.

      10.

      12.

      14.

      Retroalimentación

      Pregunta

      Tres participantes llegan a meta en la categoría senior.

      2. ¿De cuántas formas distintas pueden ocupar el podio?

      Respuestas

      3.

      6.

      9.

      12.

      Retroalimentación

      Pregunta

      Para ayudar en la organización, se eligen 2 personas de entre 5 que se presentaron como voluntarias.

      3. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar?

      Respuestas

      10.

      20.

      5.

      25.

      Retroalimentación

      Pregunta

      En la entrega de premios, se eligen 3 personas de las 4 que forman la comisión para subir juntas al escenario como autoridades.

      4. Si quieres hallar el número de grupos que se pueden elegir, ¿qué expresión deberías usar?

      Respuestas

      La de las permutaciones.

      La de las combinaciones.

      La de las variaciones.

      La Regla de Laplace.

      Retroalimentación

      Pregunta

      Al terminar la entrega de premios, doña Herminia decide hacerse una foto en fila con las 3 personas ganadoras de la modalidad carrera.

      5. ¿Cuántas fotos diferentes podrían hacerse?

      Respuestas

      4.

      12.

      24.

      16.

      Retroalimentación

      El pregonero mayor

      ¡Bien hecho!

      Tenéis un gran dominio de las técnicas de recuento.

      Abuelo de cuerpo enteroJusto antes del comienzo de la carrera tendrá lugar el pregón. Habéis decidido que ese honor lo tenga... ¡don Carmelo!

      Como no puede ser de otra forma, os quiere ayudar a que todo salga perfecto, así que revisará algunos aspectos de la organización y os lanzará pequeños retos para comprobar que tenéis todo bajo control.

      Si sabéis resolverlos, todo estará listo para empezar.

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      Los carteles finalistas

      Se han presentado 6 diseños de carteles para el anuncio de la carrera. De entre ellos se escogerán 2 finalistas.

      ¿Cuántas parejas de finalistas es posible conformar?

      • El número de parejas posibles de finalistas es de @@15@@.
      • El tipo de recuento es: @@combinación@@.

      Intervenciones

      En el pregón intervienen don Carmelo, la alcaldesa, el concejal de cultura y un miembro de la comisión de fiestas.

      ¿De cuántas formas distintas pueden ordenar la intervención?

      • El número de ordenaciones diferentes es de @@24@@.
      • El tipo de recuento es: @@permutación@@.

      El discurso de su vida

      Don Carmelo está nervioso antes del pregón, por lo que ha preparado varias opciones para su discurso:

      • 2 comienzos posibles
      • 3 partes centrales
      • 2 finales

      ¿Cuál es el número total de discursos distintos que puede formar?

      • El número total de discursos distintos es de @@12@@.
      • En el recuento se usa la regla del @@producto@@.

      Acompañantes

      Don Carmelo sigue muy nervioso, así que elegís a 2 personas de entre 8 voluntarias para acompañarlo en su subida al escenario, uno subirá antes que él y otro después.

      ¿Cuántos grupos de ordenaciones diferentes de 2 personas podrían darse?

      • El número de grupos posibles es de @@56@@. 
      • El tipo de recuento es: @@variación@@.
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      Tercera anotación en el diario de la romería

      Imagen del diario de aprendizaje en el proxecto cREAgal. Muestra un lápiz y un cuaderno con el logotipo del proyecto en la portada

      En esta fase habéis aprendido a analizar situaciones en las que ocurren varias cosas a la vez, a organizar datos y a contar posibilidades para tomar decisiones en la organización de la romería.

      Ahora toca parar un instante y reflexionar sobre lo aprendido, completando las preguntas del tercer bloque del diario de la romería.

      Al terminar, puedes compartir tus respuestas con el resto del equipo y comparar así vuestras diferencias en la forma de pensar y de resolver problemas.

      Lectura facilitada

      En esta fase habéis trabajado situaciones con varias cosas a la vez.

      Habéis organizado datos y contado posibilidades.

      Ahora toca parar y pensar sobre lo aprendido.

      Completa las preguntas en el diario de la romería.

      Al terminar, puedes compartir tus respuestas con el equipo.

      Feito con eXeLearning (Nova xanela)