Las ciencias formales

El conjunto de conocimientos que denominamos "ciencia" está compuesto por diferentes tipos de conocimiento que agrupamos y clasificamos en diferencias ciencias. Esta clasificación surge aplicando varios criterios como el tipo de objetos que estudian o el método que emplean para conocer "cientificamente" esos objetos. Vamos ahora a centrarnos en este último aspecto: el metodo científico. A continuación analizaremos los dos métodos principales usados respectivamente por cada tipo de ciencia: las ciencias formales y las ciencias experimentales. Previamente veremos qué es un método científico.

OpenClipart Teorema de Pitágoras, en Pixabay. CCO 1.0

Qué aprenderemos

Conoceremos un tipo de ciencia singular, las ciencias formales que, como ya sabes, son dos: la Lógica y las Matemáticas. Es característico de este tipo de ciencia emplear el método axiomático-deductivo. Así que tendremos que aprender...

¿Qué es una ciencia formal?
¿Qué es y cómo funciona el método axiomático-deductivo?
¿Qué es un axioma?
¿Qué es un teorema?

Manejar estos conceptos e ideas nos ayudará a entender esta parte de la ciencia.

El método de las ciencias formales

GF0 - ¿Qué es ciencia formal?

Vamos a acotar el concepto de "Ciencia formal" partiendo del artículo "Ciencias formales" de la Wikipedia.

Retroalimentación

Ciencias formales [1]

Las ciencias formales son conjuntos sistemáticos de conocimientos racionales y coherentes, que se ocupan del estudio de los procesos lógicos y matemáticos, (por lo que su objeto de estudio no es el mundo, la realidad físico-natural, sino formas vacías de contenido) pero cuyos conocimientos pueden ser aplicados a dicha realidad físico-natural. El método propio de las ciencias formales es el método deductivo.

Es aquella que trabaja con formas, es decir, con objetos ideales, que son creados por el hombre, que existen en su mente y son obtenidos por abstracción. Les interesan las formas y no los contenidos; no les importa lo que se dice, sino cómo se dice. La verdad de las ciencias formales es necesaria y formal.

Las ciencias formales son las ramas de la ciencia que estudian sistemas formales. Las ciencias formales validan sus teorías con base en proposiciones, definiciones, axiomas y reglas de inferencia. Todas ellas son analíticas, a diferencia de las ciencias sociales y las ciencias naturales, que las comprueban de manera empírica, es decir, observando el mundo real.

Lista de ciencias formales:

En las ciencias formales las proposiciones analíticas o contradictorias recogen los enunciados de las matemáticas y la lógica que en general constituyen las ciencias formales. El positivismo lógico considera a estas ciencias no empíricas.

Las ciencias formales están divididas de una forma radical: por un lado las ciencias reales y por otro lado las ciencias empíricas. Las empíricas deben satisfacer determinados requisitos lógicos en sus inferencias y deben adaptarse a las formalizaciones derivadas de la lógica matemática.

Consulta hasta entender el artículo de Wikipedia "Ciencias formales". Presta atención cuando comentemos esta lectura en clase.
Define en el glosario de tu portafolio "Ciencia formal" expresando las ideas que entiendes con tus palabras. Los conceptos de: objeto ideal - objeto real, sentidos - razón, verdad - corrección y deducción - inducción te ayudarán a definir este tipo de ciencia.
Relaciona esta definición tuya con la clasificación de las ciencias ya estudiada: tu definición ¿encaja con las clasificación de las ciencias?

[1] Colaboradores de Wikipedia. Ciencias formales [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2013 [fecha de consulta: 8 de enero del 2014]. Disponible en <http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ciencias_formales&oldid=70998760>.

Master Mind... con números

Para comenzar el estudio del método de las ciencias formales empleaemos el juego "Mastermind", una adaptación para la pizarra digital.

GF0 - El método axiomático-deductivo

Las ciencias formales emplean el método axiomático - deductivo pues sus objetos de estudio son ideales, es decir existen en nuestra mente, no en la realidad.

Retroalimentación

Representación geométrica de los
postulados de Euclides.
Wikimedia commons CC BY-SA

Infórmate. Un sistema formal o un sistema axiomático es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí ---según unas reglas establecidas--- formando expresiones que a su vez pueden ser manipuladas según reglas de deducción para producir otras cadenas.

Un sistema formal de la Lógica o de la Matemática consta de:

Un conjunto finito de símbolos que pueden ser usados para la construcción de fórmulas.
Un conjunto de reglas de formación de expresiones o gramática formal, es decir, un mecanismo para la construcción de fórmulas bien formadas.
Un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas bien formadas.
Un conjunto de reglas de inferencia.
Un conjunto de teoremas. Este conjunto incluye todos los axiomas, más todas las "fórmulas bien formadas" que pueden ser derivadas de los axiomas o de otros teoremas por medio de las reglas de inferencia.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación

El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas expresiones o cadenas de símbolos construidas siguiendo las reglas establecidas en el propio sistema. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para obtener los teoremas se emplean las reglas de deducción que convierten una cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de producción de teoremas. que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.

En matemáticas, las pruebas formales son el resultado de sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de deducción. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de reglas de deducción. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominado formalista; (...)

La matemática fue considerada por David Hilbert un sistema formal ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas, teoremas y reglas de deducción. [1]

Veamos un ejemplo de Sistema formal axiomático en Lógica.

[1] Colaboradores de Wikipedia. Sistema formal [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2013 [fecha de consulta: 30 de diciembre del 2013]. Disponible en <http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_formal&oldid=70376559>.

A estas alturas debes tener una idea clara de lo que es una ciencia formal, en la que Axioma, Teorema y Deducción son conceptos claves.

Define y explica los conceptos de Axioma y Teorema comentando claramente la relación que hay entre ellos. Consulta: Los enlaces en la Wikipedia.
Es necesario tener muy claros estos conceptos e incorporarlos al glosario del portafolio.

Veamos un ejemplo de Sistema formal axiomático en Lógica.

Retroalimentación

Infórmate sobre los sistemas formales axiomáticos, que constan de:

Un alfabeto o conjunto de símbolos,
Una gramática o conjunto de reglas que establecen cuándo una fórmula está bien formada, bien expresada,
Un conjunto de axiomas o expresiones iniciales a partir de las cuales se deducen otras llamadas teoremas y
Un conjunto de reglas de inferencia o deducción.

Alfabeto

El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en:

Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".
Un conjunto de operadores lógicos: $\neg, \and, \or, \to, \leftrightarrow$
Signos de puntuación: los paréntesis, corchetes, llaves.... Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).

Gramática

Una gramática formal consiste en un conjunto de reglas que definen las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje, que se denominarán fórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:

Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas.
Si $\phi \,$ es una fórmula bien formada de L, entonces $\neg \phi \,$ también lo es.
Si $\phi \,$ y $\psi \,$ son fórmulas bien formadas de L, entonces $(\phi \and \psi)$ , $(\phi \or \psi)$ , $(\phi \to \psi) \,$ y $(\phi \leftrightarrow \psi)$ también lo son.
Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de L.

Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas:

$p \,$

$\neg \neg \neg q \,$

$(p \and q)$

$\neg (p \and q)$

$(p \leftrightarrow \neg p)$

$((p \to q) \and p)$

$(\neg (p \and (q \or r)) \or s)$

Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas:

$(p) \,$

$\neg (p) \,$

$(\neg p) \,$

$(p \and q \to r)$

Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas:

$p \and q$

$\neg p \to q \,$

$(p \and q) \or \neg q$

$(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (q \leftrightarrow p)$

Axiomas

Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que descubrió Jan Lukasiewicz:

$(\phi \to (\psi \to \phi)) \,$
$((\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))) \,$
$((\neg \phi \to \neg \psi) \to (\psi \to \phi)) \,$

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:

$(\phi \to \psi), \phi \vdash \psi$

Recordando que $\phi \,$ y $\psi \,$ no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada.

Ejemplo de una demostración

A demostrar: $\phi \to \phi \,$
Paso	Fórmula	Razón
1	$\phi \to (\phi \to \phi) \,$	Instancia del primer axioma.
2	$\phi \to ((\phi \to \phi) \to \phi) \,$	Instancia del primer axioma.
3	$\Big( \phi \to ((\phi \to \phi) \to \phi) \Big) \to \Big( (\phi \to (\phi \to \phi)) \to (\phi \to \phi) \Big)$	Instancia del segundo axioma.
4	$\Big( (\phi \to (\phi \to \phi)) \to (\phi \to \phi) \Big)$	Desde (2) y (3) por modus ponens.
5	$\phi \to \phi \,$	Desde (1) y (4) por modus ponens.

En el portafolio

Presta atención pues cuando hayamos estudiado otros métodos científicos los compararemos con el método axiomático.

« Anterior | Seguinte »