Los números decimales exactos y periódicos pueden convertirse en fracción.
A continuación, aprenderás cómo hallar la fracción generatriz.
I. Exacto
Para transformar un número decimal exacto en una fracción el proceso es muy sencillo, puesto que puedes interpretarlo como una división entre 10, 100, 1000... siempre fijándote en la cantidad de cifras decimales que contiene el número.
Forma 1: dividir entre la potencia de 10 de la cantidad de decimales.
\(0,9 = \dfrac{9}{10} \)
\( 0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} \)
La fracción generatriz de \(0,25\) es \(\dfrac{1}{4}\) porque es la fracción irreducible.
Forma 2: expresarlo como una ecuación en la que se transforma el número en otro que no tenga parte decimal, es decir, que sea un número entero.
Por ejemplo: \(a = 0,9\); multiplica ambos miembros por 10\(10a = 9 \);
Y, finalmente, despeja: \(a = \dfrac{9}{10} \)
Este método se puede utilizar en los siguientes casos.
II. Periódico puro
Para transformar un número decimal periódico puro en una fracción se usa la técnica anterior de construir una ecuación.
Ejemplo: convierte el número \( 1,\overline{36} \) en fracción. Estos son los pasos:
1. Llama x al número original: \( x = 1,363636... \)
2. Multiplica por 100 (ya que el período tiene dos cifras): \( 100x = 136,363636... \)
3. Resta las dos igualdades para eliminar la parte decimal infinita:
\[ \begin{array}{rrc} 100x &=& 136,363636... \\ -\quad x &=& \phantom{13}1,363636... \\ \hline 99x &=& 135 \end{array} \]
4. Despeja: \( x = \dfrac{135}{99} \); y simplificala fracción resultante: \( x = \dfrac{15}{11} \)
III. Periódico mixto
Para transformar un número decimal periódico mixto en una fracción se utiliza el mismo método.
Ejemplo: convierte el número \( 1,2\overline{36} \) (donde el 2 es el anteperíodo y 36 es el período), en fracción.
1. Llama \( x \) al número original: \( x = 1,23636... \)
2. Multiplica por la potencia de 10 que deje la coma en el lugar que está justo antes del período (en este caso, por 10):
\( 10x = 12,3636... \)
3. Ahora ya estás en el caso anterior, procede del mismo modo, multiplica por la potencia de 10 que deja la coma donde esté el primer período:
\( 1000x = 1236,3636... \)
4. Resta estas dos últimas ecuaciones para eliminar la parte decimal:
\[ \begin{array}{rrc} 1000x &=& 1236,3636... \\ -\quad 10x &=& \phantom{12}12,3636... \\ \hline 990x &=& 1224,0000... \end{array} \]
5. Despeja: \( x = \dfrac{1224}{990} \); y simplifica dividiendo entre 18 para obtener la fracción irreducible: \( x = \dfrac{68}{55} \)