Saltar navegación

Permutacións

 

As permutacións son as ordenacións posibles dun conxunto de n elementos. Neste caso:

  • A orde importa.
  • En cada ordenación aparecen todos os elementos.

Tipos de permutacións

Permutacións sen repetición

una bola en una caja

  • Notación

O número de permutacións de n elementos sen repetición denótase por Pn.

  • Cálculo

Para calcular o número de permutacións de n elementos se repetición usaranse os números factoriais:

 \( P_n = n! \)

  • O problema de reconto é o mesmo que meter n bólas distintas en n caixas distintas.
Exemplo

Temos tres bólas numeradas do 1 ao 3 nunha bolsa. De cantas maneiras distintas podémolas extraer?

\[P_3=3!=3\cdot2\cdot1=6\]

Podémoslas extraer de 6 maneiras distintas.

Permutacións con repetición

    cajas con bolas repetidas

    Unha permutación con repetición é unha ordenación de elementos na que algúns elementos repítense un número determinado de veces.

    • Notación
      • O número de permutacións con repeticións onde o primeiro elemento repítese k1 veces, o segundo repítese k2 veces ... e o último repítese kr veces, onde n = k1 + k2 +...+ kr, denótase por: \[ p_{n}^{k_1, k_2, \ldots, k_r}\]

      • Cálculo

      Para calcular o número de permutación de n elementos con repetición onde o primeiro elemento repítese k1 veces, o segundo repítese k2 veces ... e o último repítese kr veces, onde n = k1 + k2 +...+ kr, usaránse os números factoriais, definidos no apartado anterior: \[ p_{n}^{k_1, k_2, \ldots, k_r} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_r!} \]

      • O problema de reconto é o mesmo que colocar bólas distintas (n = k1 + - - - + kr) en r caixas distintas de forma que a caixa i reciba ki bólas. 
      Exemplo

      Cantos números de 6 cifras pódense formar cos números {2, 2, 2, 4, 4, 6}?

      \[P_{6}^{3, 2, 1}=\frac {6!}{3!\cdot2!\cdot1!}=\frac {6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot1}=60\]

      Pódense formar 60 números diferentes.

      Lése factorial de n e o seu cálculo consiste en multiplicar todos os números enteiros que hai dende 1 ata n:  \[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \text { ... } \cdot 1\]

      Feito con eXeLearning (Nova xanela)