Saltar navegación

Aproximación da Binomial á Normal

Aproximación da Binomial á Normal

A distribución binomial exprésase como \(B(n, p)\) onde \(n\) é o número de probas e \(p\) é a probabilidade de éxito en cada unha.

Cando \(n\) é suficientemente grande \((n > 30)\) e \(p\) non é nin moi pequeno nin moi grande (\(0.1 < p < 0.9 \) aprox.), a forma da distribución binomial se aproxima á campá da distribución normal.

Isto débese a que cando hai moitas probas, a probabilidade concéntrase arredor da media, dando lugar a esa forma acampanada característica.

De feito, pode demostrarse que a binomial tende a converxer cara á normal canto maior sexa \(n\). Esta aproximación é válida cando se cumpren as seguintes condicións:

  • \(n > 30\)
  • \(n \cdot p > 5 \)
  • \(n \cdot (1-p) > 5 \)

Cando se cumpre esta aproximación, para calcular probabilidades concretas da binomial, podemos usar a normal estandarizada correspondente. Isto simplifica os cálculos, xa que existen as táboas da distribución N(0,1).

A media e desviación típica da normal que se corresponde coa binomial \(B(n,p)\) son:

\[ \mu = np \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)}= \sqrt{npq} \]

Polo tanto, a aproximación queda do seguinte xeito: \[X \in B(n, p) \Rightarrow X\approx X´\in N(np, \sqrt{npq})\]

Exemplo

Se lanzamos unha moeda non viciada 40 veces, temos unha \(B(40, 0.5)\), onde: \[ \mu = 20 \] \[ \sigma = \sqrt{40\cdot0.5\cdot0.5}=3.16 \]

Como cumpre as condicións \(40\cdot0.5 = 20 > 5\), podemos aproximar mediante unha \(N(20, 3.16)\).

Corrección de Yates

A aproximación pode mellorarse usando a corrección de Yates, que consiste en restar ou sumar 0.5 (factor de corrección) ao valor antes de tipificar:

\[ Z = \frac{(X \pm 0.5)-np}{\sqrt{np(1-p)}} \]

onde X é o número de éxitos observados na binomial.

Correspondencia entre os distintos casos 

Binomial (X) Normal con corrección (X´)
\(X = a\) Só a \(a-0.5 \leq X´ \leq a + 0.5\)
\(X \leq a\) Inclúese a \(X´ \leq a+0.5\)
\(X < a\) Exclúese a \(X´ \leq a-0.5\)
\(X \geq a\) Inclúese a \(X´ \geq a-0.5\)
\(X > a\) Exclúese a \(X´ \geq a+0.5\)
\(a \leq X \leq b\) Inclúense a e b \(a-0.5 \leq X´ \leq b+0.5\)
\(a \leq X < b\) Inclúese a e exclúese b \(a-0.5 \leq X´ \leq b-0.5\)
\(a < X \leq b\) Exclúese a e inclúese b \(a+0.5 \leq X´ \leq b+0.5\)
\(a < X < b\) Exclúense a e b \(a+0.5 \leq X´ \leq b-0.5\)

Exemplo

Sexa \(X \in B(35, 0.75)\) 

Se cumpre:

  • \(n = 35 > 30\)
  • \(np = 35\cdot 0.75 = 26.25 > 5\)
  • \(nq = 35\cdot 0.25 = 8.75 > 5\)

Entón, pódese aproximar a Binomial á Normal: \[X \in B(35, 0.75) \Rightarrow X\approx X´\in N(35\cdot 0.75, \sqrt{35\cdot 0.75\cdot 0.25}) = N(26.25, 2.56) \]

Calculemos agora as seguintes probabilidades:

Binomial (X) Normal con corrección (X´) Tipificación Resultado
\(P(X = 30)\) Só 30 \(P(30-0.5 \leq X´ \leq 30 + 0.5)\) \(P(\frac{29.5 - 26.25}{2.56} \leq Z \leq \frac{30.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.0535
\(P(X \leq 30)\) Inclúese 30 \(P(X´ \leq 30+0.5)\) \(P(Z \leq\frac{30.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.9515
\(P(X < 30)\) Exclúese 30 \(P(X´ \leq 30 - 0.5)\) \(P(Z \leq\frac{29.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.8980
\(P(X \geq 30)\) Inclúese 30 \(P(X´ \geq 30 - 0.5)\) \(P(Z \geq\frac{29.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.1020
\(P(X > 30)\) Exclúese 30 \(P(X´ \geq 30 + 0.5)\) \(P(Z \geq\frac{30.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.0485
\(P(30 \leq X \leq 35)\) Inclúense 30 e 35 \(P(30 - 0.5 \leq X´ \leq 35+0.5)\) \(P(\frac{29.5 - 26.25}{2.56} \leq Z \leq \frac{35.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.10185
\(P(30 \leq X < 35)\) Inclúese 30 e exclúese 35 \(P(30-0.5 \leq X´ \leq 35-0.5)\) \(P(\frac{29.5 - 26.25}{2.56} \leq Z \leq \frac{34.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.10136
\(P(30 < X \leq 35)\) Exclúese 30 e inclúese 35 \(P(30+0.5 \leq X´ \leq 35+0.5\) \(P(\frac{30.5 - 26.25}{2.56} \leq Z \leq \frac{35.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.04835
\(P(30 < X < 35)\) Exclúense 30 e 35 \(P(30+0.5 \leq X´ \leq 35-0.5)\) \(P(\frac{30.5 - 26.25}{2.56} \leq Z \leq \frac{34.5 - 26.25}{2.56}) \) 0.04786

Feito con eXeLearning (Nova xanela)