Moitos experimentos comparten o elemento común de que os seus resultados poden clasificarse nun de dous sucesos, por exemplo, unha moeda pode saír cara ou cruz; unha persoa pode estar empregada ou desempregada. Estes resultados adoitan etiquetarse como "éxito" ou "fracaso".
A distribución binomial utilízase para representar o número de éxitos nunha secuencia de n probas independentes, onde cada proba ten unha probabilidade fixa de éxito p.
- Características dos experimentos que seguen unha distribución binomial:
- O experimento ten n fases e en cada fase só consideramos a posibilidade de éxito ou fracaso.
- A obtención de éxito ou fracaso en cada fase é independente da obtención de éxito ou fracaso nas demais fases, sendo \(p\) a probabilidade de éxito e \(q\) a probabilidade de fracaso \((q =1-p)\).
- A probabilidade de obter éxito ou fracaso sempre é a mesma en cada fase.
- A distribución binomial adóitase representar por \(B(n, p)\), sendo \(n\) o número de fases que ten o experimento e \(p\) a probabilidade de éxito.
- A función de probabilidade da distribución binomial é: \[P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\]
onde \(k\) é o número de éxitos, \(n\) o número de probas e \(p\) a probabilidade de éxito nunha proba.
- Exemplo
-
Se lanzamos 3 veces un dado trucado, onde a probabilidade de sacar un 6 é 0.3 en cada lanzamento. Cal é a probabilidade de sacar dous seis?
Neste caso, pídesenos calcular a probabilidade P(X = 2) da distribución binomial con n = 3 e p = 0.3: \[P(X=2) = {3 \choose 2} (0.3)^2 (1-0.3) = 3(0.09)(0.7) = 0.189\]
- Parámetros
- Media ou valor esperado, denotado por \( \mu\), indícanos onde se concentra en promedio a distribución. Para a binomial, a media é:
\[ \mu = np \]
É dicir, o número de probas multiplicado pola probabilidade de éxito en cada unha.
- Varianza, denotada por \(\sigma^2\), describe a dispersión da distribución con respecto á media. Para a binomial é:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
- Media ou valor esperado, denotado por \( \mu\), indícanos onde se concentra en promedio a distribución. Para a binomial, a media é:
A Desviación típica, denotada por \(\sigma\), é a raíz cadrada da varianza:
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
- Exemplo 1
-
Se lanzamos unha moeda 5 veces, cunha probabilidade 0.5 de cara en cada lanzamento. Esta é unha B(n = 5, p = 0.5). A súa media e desviación típica son:
\[ \mu = np = 5 \cdot 0.5 = 2.5 \]\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{5 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = 1 \]
- Exemplo 2
-
Se tiramos un dado viciado 20 veces, cunha probabilidade 0.7 de sacar un 6 en cada tirada. Isto é unha B(20, 0.7). A media e desviación típica son:
\[ \mu = np = 20 \cdot 0.7 = 14 \]\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.7 \cdot 0.3} = 2 \]