Saltar navegación

Distribución de probabilidade Normal

 

Gráfica NormalA distribución normal ten varias características e propiedades craves que a definen.

  • En primeiro lugar, a media, a mediana e a moda son iguais entre si.
  • Ademais, todos estes valores representan o pico ou punto máis alto da distribución.
  • A distribución cae simétricamente ao redor da media, cuxa anchura vén definida pola desviación típica.

A distribución normal módelase con forma de campá e descríbese pola media e a desviación típica, denotándose por \(N(μ, σ)\).

A función de densidade é:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \]

onde:

  • \(x\) = valor da variable ou dos datos examinados e f(x) a función de probabilidade
  • \(μ\) = a media
  • \(σ\) = a desviación típica (ou desviación estándar)

Propiedades

    1. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1\)

    2. En todas as distribucións normais:
      • O 68,2% das observacións aparecerán dentro de máis ou menos unha desviación típica da media. Noutras palabras, os valores do intervalo \([\mu-\sigma, \mu+\sigma]\) teñen unha probabilidade de aparecer dun 68,2%. 
      • O 95,4% das observacións caerán dentro de máis ou menos dúas desviacións típicas. É dicir, os valores do intervalo \([\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]\) teñen unha probabilidade de aparecer dun 95,4%.
      • O 99,7% dentro de máis ou menos tres desviacións típicas. Doutro xeito,vos valores do intervalo \([\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]\) teñen unha probabilidade de aparecer dun  99,7%.

    Isto significa que os datos que caen fóra das tres desviacións estándar ("\(\mu\pm 3\sigma\) ") significarían ocorrencias raras.

    Gráficamente:

    Normal estándar

    Distribución Normal Estándar

    A Distribución Normal Estándar, \(N(0, 1)\), é un caso especial da distribución normal que adopta unha forma específica cunha media e unha desviación estándar dadas:

    • Media, μ =  0
    • Desviación típica, σ = 1

    A súa función de densidade é: \[ f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]

    Distribucións Normal e Normal Estándar

    Gráficas normales



    • A función vermella é a distribución normal estándar.
    • A verde ten unha desviación típica, σ, menor a 1, polo que se verá "achatada".
    • A gris ten unha desviación típica, σ, maior a 1, polo que se verá "estirada".
    • A azul ten unha media μ = 1, polo que se desprazará 1 unidade á dereita.
    • A laranxa ten unha media μ = -1, polo que se desprazará 1 unidade á esquerda.


    Tipificar

    A tipificación dunha variable aleatoria normal é un proceso que se utiliza para transformar unha variable aleatoria normal con media \(\mu\) e desviación típica \(\sigma\) nunha variable aleatoria normal estándar con media 0 e desviación típica 1. Este proceso coñécese como estandarización ou normalización.

    A tipificación realízase mediante a seguinte transformación:

    \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

    Onde:

    • \(X\) é a variable aleatoria normal orixinal
    • \(\mu\) é a media de \(X\)
    • \(\sigma\) é a desviación típica de \(X\)
    • \(Z\) é a variable aleatoria normal estándar ou tipificada.
    Exemplo

    Se as alturas nunha poboación seguen unha normal de media 170 cm e desviación 5 cm, cal é a probabilidade de que un individuo mida entre 165 cm e 175 cm?

    Trátase dunha \(N(170, 5)\) e pídesenos \(P(165 \le X \le 175)\).

    Para poder utilizar a táboa da normal estándar, primeiro teremos que tipificar:

    \[P(165 \le X \le 175)=P(\frac{165-170}{5} \le Z \le \frac{175-170}{5})=P({-1} \le Z \le 1)\]

    Agora usamos a táboa e calculamos a probabilidade pedida:

    \[P({-1} \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le {-1}) = 0.8413 - (1-0.8413)= 0.6826 \]

    É a suma de todos os datos dividido polo número total de datos

    É o dato que ocupa a posición central cando temos os valores ordenados numericamente de menor a maior

    É o dato que máis se repite

    Feito con eXeLearning (Nova xanela)