Unha combinación é a selección de r elementos dun grupo de n elementos onde:
- A orde de selección non é importante.
- En cada ordenación só aparecen r elementos.
Tipos de combinacións
Combinacións sen repetición
Unha combinación sen repetición de n elementos tomados de r en r é unha forma de seleccionar r elementos dunha lista de n.
- Regras de selección
- A orde de selección non importa (os mesmos elementos seleccionados en diferentes ordes considéranse a mesma combinación).
- Cada elemento só se pode seleccionar unha vez
Unha combinación sen repetición tamén se denomina combinación simple ou, simplemente, combinación.
- Notación
O número de combinacións de n elementos tomados de r en r, denótase por \(C_{n,r} \).
- Cálculo
Para calcular o número de combinacións de n elementos tomados de r en r usaranse números factoriais: \[C_{n,r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!} \]
Á expresión \( \binom{n}{r} \) chámase número combinatorio e lese n sobre r
- Exemplo
-
Un alumno ten pendente cinco materias e decide presentarse só a tres. Cantas posibilidades ten?
\[C_{5,3} = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!\dot(5 - 3)!}=10\]
Combinacións con repetición
Unha combinación con repetición de n elementos tomados de r en r é unha forma de seleccionar r elementos dunha lista de n.
- Regras de selección
- A orde de selección non importa (os mesmos elementos seleccionados en diferentes ordes considéranse a mesma combinación).
- Cada elemento pódese seleccionar máis dunha vez.
- Notación
O número de combinacións con repetición de n elementos tomados de r en r, denótase por \(CR_{n,r}\) ou tamén por \(CR_{n}^r\).
- Cálculo
Para calcular o número de combinacións con repetición de n elementos tomados de r en r usaranse os números factoriais:
\[CR_{n,r}=C_{n+r-1,r} = \binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n - 1)!} \]
- Exemplo
-
Nunha frutería hay 10 tipos diferentes de frutas. De cantas formas pódense elixir 3 pezas de froita?
Como temos 10 tipos que se poden repetir, trátase dunha combinación con repetición:
\[CR_{10,3}=C_{10+3-1,3} = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!\cdot9!}=220 \]