As permutacións son as ordenacións posibles dun conxunto de n elementos. Neste caso:
- A orde importa.
- En cada ordenación aparecen todos os elementos.
Tipos de permutacións
Permutacións sen repetición
- Notación
O número de permutacións de n elementos sen repetición denótase por Pn.
- Cálculo
Para calcular o número de permutacións de n elementos se repetición usaranse os números factoriais:
\( P_n = n! \)
- O problema de reconto é o mesmo que meter n bólas distintas en n caixas distintas.
- Exemplo
-
Temos tres bólas numeradas do 1 ao 3 nunha bolsa. De cantas maneiras distintas podémolas extraer?
\[P_3=3!=3\cdot2\cdot1=6\]
Podémoslas extraer de 6 maneiras distintas.
Permutacións con repetición
Unha permutación con repetición é unha ordenación de elementos na que algúns elementos repítense un número determinado de veces.
- Notación
-
O número de permutacións con repeticións onde o primeiro elemento repítese k1 veces, o segundo repítese k2 veces ... e o último repítese kr veces, onde n = k1 + k2 +...+ kr, denótase por: \[ p_{n}^{k_1, k_2, \ldots, k_r}\]
- Cálculo
Para calcular o número de permutación de n elementos con repetición onde o primeiro elemento repítese k1 veces, o segundo repítese k2 veces ... e o último repítese kr veces, onde n = k1 + k2 +...+ kr, usaránse os números factoriais, definidos no apartado anterior: \[ p_{n}^{k_1, k_2, \ldots, k_r} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_r!} \]
- O problema de reconto é o mesmo que colocar n bólas distintas (n = k1 + - - - + kr) en r caixas distintas de forma que a caixa i reciba ki bólas.
- Exemplo
-
Cantos números de 6 cifras pódense formar cos números {2, 2, 2, 4, 4, 6}?
\[P_{6}^{3, 2, 1}=\frac {6!}{3!\cdot2!\cdot1!}=\frac {6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot1}=60\]
Pódense formar 60 números diferentes.
Lése factorial de n e o seu cálculo consiste en multiplicar todos os números enteiros que hai dende 1 ata n: \[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \text { ... } \cdot 1\]