Saltar navegación

Actividades resoltas

Actividade 1: sucesos

Nunha bolsa hai 10 bólas numeradas do 1 ao 10. Realízase un experimento aleatorio no que se sacará unha bóla da bolsa sen mirar. Describir os seguintes tipos de sucesos e proporcionar exemplos concretos de cada un baseándose neste experimento:

  1. Suceso seguro
  2. Suceso imposible
  3. Suceso aleatorio simple
  4. Suceso composto

Solución

  1. Suceso seguro: É aquel que ocorrerá si ou si cando se realice o experimento. Neste caso, un suceso seguro sería "sacar unha bóla que teña un número entre 1 e 10", xa que todas as bólas na bolsa están dentro deste rango.

  2. Suceso imposible: É aquel que non pode ocorrer baixo ningunha circunstancia no contexto do experimento. Un exemplo sería "sacar unha bóla que teña o número 11", posto que non hai ningunha bóla na bolsa que teña ese número.

  3. Suceso aleatorio simple: É un suceso que consiste nun só resultado posible. Por exemplo, "sacar a bóla número 5" sería un suceso simple, xa que só hai unha forma de que ese suceso ocorra.

  4. Suceso composto: É un suceso que inclúe dous ou máis sucesos simples. Un exemplo sería "sacar unha bóla con un número par". Este suceso está composto polos sucesos simples de sacar a bóla número 2, 4, 6, 8 ou 10.

Resumindo, neste experimento aleatorio, os sucesos seguros e imposibles son claros, xa que dependen do contido da bolsa. Os sucesos simples e compostos dependen das características das bólas que podes sacar, e hai moitas posibilidades para os sucesos compostos dependendo de que grupo ou características decides enfocar (por exemplo, números pares, números impares, números primos, etc.).

Actividade 2: operacións con sucesos

Temos unha baralla española que consta de 40 cartas, divididas en catro paus: ouros, copas, espadas e bastos. Cada pau ten 10 cartas numeradas do 1 ao 7 e tres figuras: sota, cabalo e rei. Sacamos unha carta ao chou da baralla e definimos os sucesos seguintes:

  • Suceso A: Sacar unha figura (sota, cabalo ou rei).
  • Suceso B: Sacar unha carta de ouros.

Realiza as seguintes operacións con estes sucesos e describe o resultado:

a) A unión de A e B (A ∪ B)

Solución

A unión de A e B (A ∪ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a polo menos un dos sucesos A ou B?

  • Se sacamos unha carta que é unha figura ou é unha carta de ouros, teremos un suceso que pertence a A ∪ B. Isto inclúe todas as figuras (sota, cabalo e rei) de todos os paus e todas as cartas do pau de ouros, incluídas as súas figuras.
  • Se queremos contalas, entón, temos 3 figuras x 4 paus = 12 cartas como figuras e 10 cartas de ouros, das cales 3 xa foron contadas como figuras, polo que engadimos 7 cartas máis. Isto dá un total de 12 + 7 = 19 cartas posibles que cumpren esta condición.

b) A intersección de A e B (A ∩ B)

Solución

A intersección de A e B (A ∩ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a ambos sucesos A e B ao mesmo tempo?

Sacar unha carta que sexa simultaneamente unha figura e de ouros significa que estamos a buscar as figuras específicas do pau de ouros.

Hai 3 cartas que cumpren con esta condición: a sota de ouros, o cabalo de ouros e o rei de ouros.

c) O suceso complementario de A (A')

Solución

O suceso complementario de A (A'): Que sucesos ocorren cando non se saca unha figura?

  • O suceso complementario de sacar unha figura é sacar unha carta que non sexa figura, isto é, calquera número do 1 ao 7 en calquera dos paus.
  • Como hai 4 paus e 7 cartas numeradas en cada pau, entón temos 4 x 7 = 28 cartas que son o complementario de sacar unha figura.

d) A diferenza entre A e B (A - B)

Solución

A diferenza entre A e B (A - B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) ao suceso A pero non ao suceso B?

  • As cartas que pertencen ao suceso A pero non ao suceso B son as figuras que non son de ouros.
  • Como hai tres figuras en cada pau e catro paus, temos un total de 12 figuras. Se excluímos as tres figuras de ouros, quedamos con 12 - 3 = 9 figuras que non son de ouros. Entón, podes sacar a sota, o cabalo ou o rei de copas, espadas ou bastos.

e) A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B)

Solución

A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a A ou B, pero non a ambos ao mesmo tempo?

  • As cartas que pertencen a A ou a B, pero non a ambos, incluirían as figuras de copas, espadas e bastos (que non son de ouros) e as cartas numéricas de ouros (do 1 ao 7), xa que estas non son figuras.
  • Entón, temos as 9 figuras que non son de ouros, máis as 7 cartas numéricas de ouros, o que nos dá un total de 9 + 7 = 16 cartas posibles que cumpren esta condición

Actividade 3: probabilidade

Na "Feira do Libro de Vigo" hai tres casetas destacadas: caseta de Literatura Galega \(L\), caseta de Poesía \(P\) e caseta de Novela Histórica \(H\). Durante unha mañá, rexístranse as visitas dos asistentes á feira e obsérvase que:

  • O 50% dos asistentes visitan a caseta de Literatura Galega \(L\).
  • O 30% dos asistentes visitan a caseta de Poesía \(P\).
  • O 20% dos asistentes visitan a caseta de Novela Histórica \(H\).
  • O 10% dos asistentes visitan tanto a caseta de Literatura Galega como a de Poesía \(L ∩ P \).
  • O 5% dos asistentes visitan tanto a caseta de Literatura Galega como a de Novela Histórica \(L ∩ H \).
  • O 3% dos asistentes visitan tanto a caseta de Poesía como a de Novela Histórica \(P ∩ H \).
  • O 2% dos asistentes visitan as tres casetas \(L ∩ P ∩ H \).

Se un asistente é escollido ao azar ao final da mañá, calcular a probabilidade en porcentaxe de que:

a) Visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía.

Solución

 A probabilidade de que un asistente visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía é a unión de \(L \) e \(P \), \(L ∪ P \):

 \[ P(L \cup P) = P(L) + P(P) - P(L \cap P) \] \[ P(L \cup P) = 0.50 + 0.30 - 0.10 = 0.70 \]

Entón, a probabilidade de que un asistente visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía é do 70%.

b) Visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica.

Solución

A probabilidade de que un asistente visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica é a diferenza entre P e H, \(P - H \):

 \[ P(P - H) = P(P) - P(P\cap H) \] \[ P(P- H) = 0.30 - 0.03 = 0.27 \]

Así, a probabilidade de que un asistente visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica é do 27%.

c) Non visite ningunha das tres casetas.

Solución

A probabilidade de que non visite ningunha das tres casetas é o complementario da unión de \(L \), \(P \) e \(H \), \( \overline { L ∪ P ∪ H}\).

Para calcular a probabilidade de que un asistente non visite ningunha das tres casetas, primeiro atopamos a unión das tres e logo o complementario: \[ P(L \cup P \cup H) = P(L) + P(P) + P(H) - P(L \cap P) - P(L \cap H) - P(P \cap H) + P(L \cap P \cap H) \] \[ P(L \cup P \cup H) = 0.50 + 0.30 + 0.20 - 0.10 - 0.05 - 0.03 + 0.02 = 0.84 \]

A probabilidade do complementario será: \[ P(\text{ningunha caseta}) = P(\text{algunha caseta}) = \overline{ L ∪ P ∪ H} = {1 - P(L \cup P \cup H)} \] \[ P(\text{ningunha caseta}) = 1 - 0.84 = 0.16 \]

Entón, a probabilidade de que un asistente non visite ningunha das tres casetas é do 16%.

Actividade 4: táboa de continxencia

Nunha empresa de deseño gráfico, os empregados clasifícanse segundo a súa experiencia (Expertos ou Novatos) e o tipo de proxecto que manexan (Web ou Gráfico). Dos 120 empregados, o 60% traballan en proxectos Web e o resto en proxectos Gráficos. Entre os que traballan en proxectos Web, o 70% son Expertos. Por outro lado, dos que traballan en proxectos Gráficos, o 40% son Expertos.

a) Elaborar unha táboa de continxencia coas frecuencias absolutas de empregados en cada categoría

Solución

Primeiro, establecemos as cantidades totais baseándonos na información proporcionada:

Total de empregados: 120

  • Empregados en Web: 60% de 120 = 72
  • Empregados en Gráficos: 40% de 120 = 48

Agora, determinamos o número de Expertos e Novatos en cada área:

  • Empregados Expertos en Web \(W\): 70% de 72 = 50.4, que aproximaremos a 50 para ter un número enteiro.
  • Empregados Novatos en Web: 72 - 50 = 22
  • Empregados Expertos en Gráficos \(G\): 40% de 48 = 19.2, que aproximaremos a 19 para ter un número enteiro.
  • Empregados Novatos en Gráficos: 48 - 19 = 29

Con estes datos, podemos crear a táboa de continxencia:

Categoría Web Gráficos Total
Expertos 50 19 69
Novatos 22 29 51
Total 72 48 120

b) Calcular a probabilidade de que, ao escoller un empregado ao chou, este sexa un Experto ou traballe en proxectos Web.

Solución

Definimos os sucesos

\(E\) = "Ser Experto"

\(E'\) = "Non ser Experto" = "Ser Novato"

\(W\) = "Empregado en Web"

\(W'\) = "Non Empregado en Web" = "Empregado en Gráficos"

Entón, a probabilidade pedida é:

\[P(\text{Experto ou Web}) = P(\text{E U W}) = P(Experto) + P(Web) - P(Experto \cap Web)\]

Sabemos que:

\[P(Experto) = \frac{ \text{Número de Expertos}} {\text{Total de empregados}} = \frac {69}{120}\] \[P(Web) = \frac {\text{Número de empregados en Web}}{\text{Total de empregados}} = \frac {72}{120}\] \[ P(\text{Experto e Web}) =P(Experto \cap Web)=\frac {\text{Número de Expertos en Web}}{\text{Total de empregados}} =\frac {50}{120}\]

Realizamos o cálculo:

\[P(\text{Experto ou Web}) = P(\text{Experto U Web})= \frac {69}{120} + \frac {72}{120} - \frac {50}{120}\]

\[P(\text{Experto U Web)} = \frac {69 + 72 - 50}{120}\]

\[P(\text{Experto U Web}) = \frac {91}{120}\] \[P(\text{Experto U Web}) = 0.76\]

Entón, a probabilidade expresada en porcentaxe de que ao escoller un empregado ao chou, este sexa un Experto ou traballe en proxectos Web é aproximadamente 76%.

Actividade 5: teorema da probabilidade total

Imaxina que nun festival de música hai tres escenarios diferentes: Electrónica (E), Rock (R) e Pop (P). Os asistentes distribúense polos escenarios segundo as súas preferencias musicais. O 40% prefiren Electrónica, o 35% Rock e o 25% Pop. Ao final de cada día, sortéase un premio entre os asistentes de cada escenario. A probabilidade de gañar o premio é do 5% no escenario de Electrónica, do 6% no de Rock e do 4% no de Pop.

Cal é a probabilidade de que un asistente calquera gañe o premio?

Solución

Definimos os sucesos:

  • \( E \): O asistente está no escenario de Electrónica.
  • \( R \): O asistente está no escenario de Rock.
  • \( P \): O asistente está no escenario de Pop.
  • \( G \): O asistente gaña o premio.

As probabilidades de estar en cada escenario son:

\[ P(E) = 0.40 \] \[ P(R) = 0.35 \] \[ P(P) = 0.25 \]

E as probabilidades de gañar o premio en cada escenario son:

\[ P(G|E) = 0.05 \] \[ P(G|R) = 0.06 \] \[ P(G|P) = 0.04 \]

Aplicamos o Teorema de la Probabilidade Total para calcular \( P(G) \):

\[ P(G) = P(G|E)P(E) + P(G|R)P(R) + P(G|P)P(P) \] \[ P(G) = (0.05 \cdot 0.40) + (0.06 \cdot 0.35) + (0.04 \cdot 0.25) \] \[ P(G) = 0.02 + 0.021 + 0.01 \] \[ P(G) = 0.051 \]

Entón, a probabilidade en porcentaxe de que un asistente calquera gañe o premio é do 5.1%.

Actividade 6: teorema de Bayes

Supoñamos que temos unha caixa con bólas de tres cores: vermellas, verdes e azuis. A caixa contén o 40% de bólas vermellas, o 35% de bólas verdes e o resto de bólas azuis. Ademais, cada cor de bóla ten unha probabilidade distinta de ser unha bóla premiada: o 10% das bólas vermellas son premiadas, o 15% das bólas verdes e o 20% das bólas azuis.

Se extraemos unha bóla ao chou e resulta ser unha bóla premiada, cal é a probabilidade de que a bóla sexa verde?

Solución

Definamos os sucesos:

  • \( R \): Extraer unha bóla vermella.
  • \( G \): Extraer unha bóla verde.
  • \( B \): Extraer unha bóla azul.
  • \( W \): Extraer unha bóla premiada.

As probabilidades dadas son:

\[ P(R) = 0.40 \] \[ P(G) = 0.35 \] \[ P(B) = 1 - P(R) - P(G) = 0.25 \]

E as probabilidades de que cada bóla sexa premiada son:

\[ P(W|R) = 0.10 \] \[ P(W|G) = 0.15 \] \[ P(W|B) = 0.20 \]

Queremos atopar a probabilidade de que, se sacamos unha bóla premiada, esta sexa verde, é dicir, \( P(G|W) \).

Primeiro, usamos o Teorema da Probabilidade Total para calcular \( P(W) \):

\[ P(W) = P(W|R)P(R) + P(W|G)P(G) + P(W|B)P(B) \] \[ P(W) = (0.10 \cdot 0.40) + (0.15 \cdot 0.35) + (0.20 \cdot 0.25) \] \[ P(W) = 0.04 + 0.0525 + 0.05 \] \[ P(W) = 0.1425 \]

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para calcular \( P(G|W) \):

\[ P(G|W) = \frac{P(W|G) \cdot P(G)}{P(W)} \] \[ P(G|W) = \frac{0.15 \cdot 0.35}{0.1425} \] \[ P(G|W) = \frac{0.0525}{0.1425} \] \[ P(G|W) \approx 0.3684 \]

Polo tanto, a probabilidade en porcentaxe de que a bóla premiada sexa verde é aproximadamente do 36.84%.

Feito con eXeLearning (Nova xanela)