Variables aleatorias discretas
1. O número de goles que marca un equipo de fútbol nun partido pode modelarse como unha variable aleatoria discreta X que toma valores {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se sabemos que:
P(X = 0) = 0.05 P(X = 1) = 0.10 P(X = 2) = 0.20 P(X = 3) = 0.30 P(X = 4) = 0.20 P(X = 5) = 0.10 P(X = 6) = 0.05
Determina:
a. A función de probabilidade e a de distribución
Solución
Elaboramos un táboa onde a segunda e a terceira columna correpóndense coa función de probabilidade e de distribución, respectivamente.
\(x_i\) | \(P(X = x_i)\) | \(F(x_i)\) |
0 | 0.05 | 0.05 |
1 | 0.10 | 0.15 |
2 | 0.20 | 0.35 |
3 | 0.30 | 0.65 |
4 | 0.20 | 0.85 |
5 | 0.10 | 0.95 |
6 | 0.05 | 1 |
1 |
A función de distribución pódese expresar tamén como unha función definida a anacos:
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x<0 \\ 0.05 & \text{se } 0 ≤ x < 1 \\ 0.15 & \text{se } 1 ≤ x < 2 \\ 0.35 & \text{se } 2 ≤ x < 3 \\0.65 & \text{se } 3 ≤ x < 4 \\ 0.85 & \text{se } 4 ≤ x < 5 \\ 0.95 & \text{se } 5 ≤ x < 6 \\1 & \text{se } 6 ≤ x \end{cases} \]
b. Media e varianza de X
Solución
- Media:
\(\mu = 0·0.05 + 1·0.10 + 2·0.20 + 3·0.30 + 4·0.20 + 5·0.10 + 6·0.05 = 3\)
O número medio de goles que marca en cada partido é de 3 goles
- Varianza:
\(\sigma^2 = (0-3)^2·0.05 + (1-3)^2·0.10 + (2-3)^2·0.20 + (3-3)^2·0.30 + (4-3)^2·0.20 + (5-3)^2·0.10 + (6-3)^2·0.05 = 2\)
2. O número de peixes que se pescan nun lago nun día pode modelarse como unha variable aleatoria discreta X que toma os seguintes valores:
\(x_i\) | \(P(X=x_i) \) |
0 | 0.1 |
1 | 0.2 |
2 | 0.3 |
3 | 0.25 |
4 | 0.1 |
5 | 0,05 |
a. Comproba que é unha función de probabilidade
Solución
Comprobamos se a suma das probabilidades é 1.
\[P(X=x_i) = 0.1+0.2+0.3+0.25+0.1+0.05=1\]
Trátase, polo tanto, dunha función de probabilidade.
b. Calcula a función de distribución expresándoa como unha función definida a anacos
Solución
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x<0 \\ P(X = 0) & \text{se } 0 ≤ x < 1 \\ P(X = 0) + P(X = 1) & \text{se } 1 ≤ x < 2 \\ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) & \text{se } 2 ≤ x < 3 \\ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+P(X=3) & \text{se } 3 ≤ x < 4 \\ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+ P(X = 3)+P(X=4) & \text{se } 4 ≤ x < 5 \\ 1 & \text{se } 5 ≤ x \end{cases} \]
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x<0 \\ 0.1 & \text{se } 0 ≤ x < 1 \\ 0.1 + 0.2 & \text{se } 1 ≤ x < 2 \\ 0.1 + 0.2 + 0.3 & \text{se } 2 ≤ x < 3 \\0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.25 & \text{se } 3 ≤ x < 4 \\ 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.25 + 0.1 & \text{se } 4 ≤ x < 5 \\ 1 & \text{se } 5 ≤ x \end{cases} \]
A función de distribución é:
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x<0 \\ 0.1 & \text{se } 0 ≤ x < 1 \\ 0.3 & \text{se } 1 ≤ x < 2 \\ 0.6 & \text{se } 2 ≤ x < 3 \\0.85 & \text{se } 3 ≤ x < 4 \\ 0.95 & \text{se } 4 ≤ x < 5 \\ 1 & \text{se } 5 ≤ x \end{cases} \]
c. Calcula media, varianza e desviación típica
Solución
- Media:
\[ \mu = \sum x_i P(x_i) \] \[ \mu = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.05 = 2 \]
- Varianza:
\[ \sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 P(x_i) \] \[ \sigma^2 = (0-2)^2 \cdot 0.1 + (1-2)^2 \cdot 0.2 + (2-2)^2 \cdot 0.3 + (3-2)^2 \cdot 0.25 + (4-2)^2 \cdot 0.1 + (5-2)^2 \cdot 0.05 = 2 \]
- Desviación típica:
A desviación típica é simplemente a raíz cadrada da varianza:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2 }=1.41\]
Polo tanto, a desviación típica desta variable aleatoria discreta X é de 1.41.
Isto significa que os valores observados de número de peixes pescados difiren como media 1.41 unidades respecto da media de 2 peixes.