Actividade 1: permutacións
1. Cantas formas únicas hai de ordenar as letras da palabra PERA?
Solución
Trátase dunha permutación de 4 elementos, xa que úsanse todos as letras (elementos) e polo tanto o que diferencia un ordenamento doutro é a orde.
O número de ordenacións posibles é:
\[P_4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \]
2. Cantas formas únicas hai de ordenar as letras da palabra TERRA?
Solución
Agora nos atopamos cunha palabra de 5 letras, pero unha das letras repítese 2 veces. Estamos ante unha permutación con repetición de cinco elementos, onde un deles repítese 2 veces.
Para calcular as permutacións con repetición de 5 elementos onde algúns elementos se repiten, utilizamos a fórmula xeral:
\[ p_{n}^{k_1, k_2, \ldots, k_r} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_r!} \]
Neste caso, \( n \) é o número total de letras, e \( k_1, k_2, \ldots, k_r \) son as frecuencias das letras repetidas. Así, a fórmula específica para a palabra "TERRA" sería:
\[ p_{5}^{1, 1, 2, 1} = \frac{5!}{1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1!} \]
Calculamos a solución:
\[ p_{5}^{1, 1, 2, 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]
Polo tanto, hai 60 formas únicas de ordenar as letras da palabra "TERRA".