Saltar navegación

Función de distribución

 

A función de distribución dunha variable aleatoria discreta \(X\) é unha función que asigna a cada valor \(x\) no rango de \(X\) a probabilidade acumulada de que \(X\) tome un valor menor ou igual a \(x\).

Formalmente, defínese como:

\[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k \leq x} P(X = k)\]

Onde \(P(X = k)\) é a función de masa de probabilidade de \(X\), que asigna a probabilidade de que \(X\) tome cada valor \(k\) no seu rango.

Propiedades

A función de distribución dunha variable discreta ten varias propiedades importantes:

  1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x
  2. F(x) é crecente 

  3. Límites:

    • \(\lim\limits_{x \to -∞}\)  F(x) = 0
    • \(\lim\limits_{x \to ∞}\)  F(x) = 1
  4. F(x) é continua pola dereita

  5. Propiedades de probabilidade:

    • P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
    • P(X > a) = 1 - F(a)
    • P(X ≤ a) = F(a)
Exemplo

Consideramos o experimento aleatorio que consiste en lanzar unha moeda e definimos a variable aleatoria que conta o número de cruces.

Espazo mostral: \[Ω=\{\text{0, 1}\}\]
Función de distribución:
\[ F(x) = P(X \leq x) =\begin{cases} 0 & \text{se }  x< 0 \\ \frac{1}{2} & \text{se } 0 \leq x<1 \\ 1 & \text{se } x \geq1 \end{cases} \]
Representación da función de distribución:

Conxunto dos valores que toma a variable

Feito con eXeLearning (Nova xanela)