Aproximación da Binomial á Normal
A distribución binomial exprésase como \(B(n, p)\) onde \(n\) é o número de probas e \(p\) é a probabilidade de éxito en cada unha.
Cando \(n\) é suficientemente grande \((n > 30)\) e \(p\) non é nin moi pequeno nin moi grande (\(0.1 < p < 0.9 \) aprox.), a forma da distribución binomial se aproxima á campá da distribución normal.
Isto débese a que cando hai moitas probas, a probabilidade concéntrase arredor da media, dando lugar a esa forma acampanada característica.
De feito, pode demostrarse que a binomial tende a converxer cara á normal canto maior sexa \(n\). Esta aproximación é válida cando se cumpren as seguintes condicións:
- \(n > 30\)
- \(n \cdot p > 5 \)
- \(n \cdot (1-p) > 5 \)
Cando se cumpre esta aproximación, para calcular probabilidades concretas da binomial, podemos usar a normal estandarizada correspondente. Isto simplifica os cálculos, xa que existen as táboas da distribución N(0,1).
A media e desviación típica da normal que se corresponde coa binomial \(B(n,p)\) son:
\[ \mu = np \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)}= \sqrt{npq} \]
Polo tanto, a aproximación queda do seguinte xeito: \[X \in B(n, p) \Rightarrow X\approx X´\in N(np, \sqrt{npq})\]
- Exemplo
-
Se lanzamos unha moeda non viciada 40 veces, temos unha \(B(40, 0.5)\), onde: \[ \mu = 20 \] \[ \sigma = \sqrt{40\cdot0.5\cdot0.5}=3.16 \]
Como cumpre as condicións \(40\cdot0.5 = 20 > 5\), podemos aproximar mediante unha \(N(20, 3.16)\).