- A Axiomática de Kolmogorov proporciona unha base sólida para a teoría da probabilidade, estandarizando o modo no que comprendemos e calculamos a probabilidade dos sucesos.
- Andrei Kolmogorov formulou un conxunto de axiomas que definen rigorosamente os conceptos de probabilidade e permiten a súa aplicación en diversos campos. Estes axiomas son aceptados universalmente e constitúen o fundamento sobre o cal se constrúe toda a teoría da probabilidade.
- Os axiomas de Kolmogorov son tres principios básicos que toda medida de probabilidade \( P \) debe cumprir para calquera suceso \( A \) nun espazo mostral \( \Omega \):
- Axioma de Non-negatividade: A probabilidade de calquera suceso \( A \) é sempre un número non negativo. É dicir: \[ P(A) \geq 0 \]
- Axioma de Probabilidade do Espazo Mostral: A probabilidade do espazo mostral completo é 1. En termos matemáticos, \[ P(\Omega) = 1 \]
- Axioma de Aditividade: Se temos unha secuencia de sucesos mutuamente excluíntes \( A_1, A_2, A_3, \ldots \) (isto é, eventos que non poden ocorrer ao mesmo tempo), entón a probabilidade de que ocorra algún dos eventos é a suma das probabilidades de cada evento. É dicir:
\( P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)\) = \(\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \)), sempre que \( A_i \cap A_j = \emptyset \) para \( i \neq j \).
Exemplos
- Axioma de Non-negatividade
-
Lánzase un dado xusto de seis caras.
A probabilidade de que saia un número específico, digamos un "4", \( P(\text{"sacar un 4"})\), nunca pode ser negativa.
- Axioma de Probabilidade do Espazo Muestral
-
Seguindo co dado de seis caras, o espazo mostral é \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).
A probabilidade de que ao lanzar o dado saia calquera número do 1 ao 6 é 1, é dicir, \( P(\Omega) = 1 \), xa que estamos seguros de que o resultado será un deses números.
- Axioma de Aditividade
-
Se queremos calcular a probabilidade de sacar un número impar ao lanzar un dado, temos que considerar os sucesos \( A_1 = \text{"sacar un 1"} \), \( A_2 = \text{"sacar un 3"} \), e \( A_3 = \text{"sacar un 5"} \). Estes sucesos son mutuamente excluíntes, porque non se poden dar ao mesmo tempo.
Aplicando o terceiro axioma, obtemos: \( P(\text{"sacar un número impar"}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) \).
- Andrei Nikolaevich Kolmogorov foi un dos matemáticos máis eminentes do século XX, cuxa influencia se estendeu por unha ampla gama de disciplinas matemáticas, pero é máis coñecido polo seu traballo pioneiro na teoría da probabilidade.
- Nado en Tambov, Imperio Ruso, o 25 de abril de 1903, Kolmogorov foi un prodixio que mostrou un talento excepcional desde moi novo.
- Educado na Universidade Estatal de Moscova, Kolmogorov contribuíu significativamente en diversas áreas, pero destaca especialmente pola súa axiomatización da teoría da probabilidade. Publicada en 1933, esta obra foi un punto de inflexión, estabelecendo unha base sólida e sistemática para a probabilidade como unha rama matemática rigorosa.
- Kolmogorov tamén estivo interesado na educación e no desenvolvemento de novos métodos de ensino de matemáticas, e durante a súa vida escribiu libros de texto escolares e promoveu a reforma educativa en Rusia.
- Falecido o 20 de outubro de 1987, Kolmogorov deixou un legado duradeiro e universal.
\(A_1UA_2UA_3U ...\)
\(P(A_1UA_2UA_3U ...)\)
\(P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+ ...\)
En matemáticas, un axioma é unha declaración asumida como verdadeira sen necesidade de demostración, que serve como base para construír e deducir outras propiedades e teoremas dentro dun sistema matemático.
Axustando [algo ou a alguén] a un patrón ou tipo común