- Para Dous Sucesos
Cando temos dous sucesos, \(A\) e \(B\), que non son independentes, a probabilidade de que ambos sucesos ocorran en secuencia, denotada por \( P(A \cap B) \), calcúlase tendo en conta que a probabilidade do segundo suceso pode variar dependendo de se ocorreu o primeiro suceso.
Esta probabilidade calcúlase utilizando a probabilidade condicionada:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) \]
onde \( P(B | A) \) é a probabilidade de que \(B\) ocorra sabendo que \(A\) xa ocorreu.
- Exemplo
-
Supoñamos que queremos calcular a probabilidade de sacar un rei dunha baralla de cartas e, a continuación, sen volver a meter a carta na baralla, sacar unha sota. Estes sucesos non son independentes, xa que sacar un rei na primeira tirada afecta á probabilidade de sacar unha sota na segunda.
A probabilidade de sacar un rei é:
\[ P(A) = \frac{4}{40} \]
Unha vez sacado o rei, quedan 39 cartas na baralla, incluíndo 4 sotas. Entón, a probabilidade de sacar unha sota despois de ter sacado un rei é:
\[ P(B | A) = \frac{4}{39} \]
A probabilidade de sacar un rei e logo unha sota en secuencia é:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = \frac{4}{40} \cdot \frac{4}{39} = \frac{16}{1560} = \frac{2}{159} \]
-
Para Múltiples Sucesos
Se temos múltiples sucesos non independientes, \(A_1, A_2, ..., A_n\), a probabilidade de que todos ocorran en secuencia é o produto das súas probabilidades condicionadas:
\[ P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n | A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}) \]
- Exemplo
-
Consideremos que queremos calcular a probabilidade de sacar tres cartas específicas en secuencia dunha baralla de 40 cartas, sen reposición, onde cada elección sucesiva non é independente da anterior.
\[ P(A_1) = \frac{1}{40} \] \[ P(A_2 | A_1) = \frac{1}{39} \] \[ P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{1}{38} \]
Entón, a probabilidade de que ocorran os tres sucesos en secuencia é:
\[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{1}{40} \cdot \frac{1}{39} \cdot \frac{1}{38} \]