Os parámetros dunha distribución de probabilidade discreta son valores que resumen certas características da distribución.
Os dous parámetros máis comúns son a media e a varianza.
- Esperanza matemática, media ou valor esperado
A esperanza matemática, tamén coñecida como a media ou valor esperado dunha variable aleatoria discreta, é a media ponderada dos posibles valores que pode tomar a variable aleatoria, onde cada valor é ponderado pola súa probabilidade
Calcúlase como a suma dos produtos dos posibles valores da variable polas súas probabilidades correspondentes:
\[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]
- Exemplo
-
Para o lanzamento dun dado, a esperanza sería:
\[ E(X) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\dfrac{1}{6} + 4\cdot\dfrac{1}{6} + 5\cdot\dfrac{1}{6} + 6\cdot\dfrac{1}{6} = 3.5 \]
- Varianza
A varianza é unha medida da dispersión dos valores que pode tomar a variable aleatoria respecto a súa media. Indica canto se esperaría que varíen os resultados.
Calcúlase como a suma dos produtos do cadrado da diferenza entre cada valor e a media pola súa probabilidade correspondente:
\[ Var(X) = \sum_{x} (x - E(X))^2 \cdot P(X=x) \]
A raíz cadrada da varianza denomínase desviación típica.- Exemplo
-
Para o dado, a varianza sería:
\[ Var(X) = \sum_{i=1}^{6} (i - 3.5)^2 \cdot \dfrac{1}{6} \]
Calculando, obtemos que \( Var(X) = 2.92 \).
Exemplo práctico
Lanzamos dous dados e sumamos os resultados. A variable aleatoria \( Y \) representa a suma dos dous dados. Os posibles valores de \( Y \) son \( \{2, 3, 4, ..., 12\} \), e a súa distribución de probabilidade non é uniforme. Por exemplo, hai só unha forma de obter un 2 (cando ambos dados mostran un 1), pero hai seis formas de obter un 7.
A función de probabilidade para \(Y \) non é igual para todos os valores. Por exemplo, \( P(Y=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \), mentres que \( P(Y=2) = \dfrac{1}{36} \).
Para calcular a esperanza de \( Y \), sumamos os produtos dos posibles valores e as súas probabilidades correspondentes:
\[ E(Y) = 2\cdot\frac{1}{36} + 3\cdot\frac{2}{36} + ... + 12\cdot\frac{1}{36}=7 \]
A varianza tamén se calcula tendo en conta a probabilidade de cada valor de \( Y \).
\[ Var(Y) = (2 - 7)^2 \cdot \dfrac{1}{36} +(3 - 7)^2 \cdot \dfrac{2}{36}+ ... + (12 - 7)^2 \cdot \dfrac{1}{36}\approx 5.83\]
Por último calculamos a desviación típica.
\[\text{Desviación típica }= \sqrt{Varianza} = \sqrt{5.83} \approx 2.41\]
Mentres que a varianza exprésase en unidades ao cadrado (por exemplo, metros cadrados, segundos cadrados etc.), a desviación típica ten as mesmas unidades que a variable orixinal. Isto facilita a interpretación da dispersión dos datos en termos das unidades orixinais.