Figuras recortadas
Un tronco es la figura que aparece si cortamos una pirámide o un cono con un plano paralelo a la base. Tienen:
- Dos bases: una mayor y otra más pequeña. Si se trata de un tronco de pirámide las bases son dos polígonos semejantes y si es un tronco de cono son dos círculos.
- Una altura que se corresponde con la distancia entre las dos bases.
- Una o varias caras laterales.
Posición de Tales
Semejanza de las secciones
Para hallar las medidas desconocidas que necesitas en los problemas, puede ser necesario aplicar la semejanza entre los dos triángulos, en posición de Tales, que forman: las alturas, las apotemas de las bases y las apotemas laterales.
Usa las siguientes nomenclaturas y proporciones.
Igualmente, se puede aplicar semejanza sobre los triángulos en posición de Tales que forman: las alturas, los radios de las bases y las aristas laterales (o generatrices en el caso de los conos).
Semejanza de los volúmenes
La razón de semejanza, k, entre segmentos se halla dividiendo sus medidas.
Si calculas áreas, al tener dos dimensiones, esa razón se multiplica por sí misma, es k2.
Al estudiar los cubos, se multiplica por sí misma tres veces, es k3.
En la imagen, puedes ver que la razón entre los radios, las generatrices y las alturas es 5, y al calcular los volúmenes, el resultado es 25.
Este resultado puede serte útil al resolver algunos problemas.
Compruébalo
Manipula la altura del cono verde para ver cuál es la relación de semejanza entre los radios y entre los volúmenes.
Volumen
Para trabajar con un tronco es útil imaginar la figura completa original y pensar qué parte se ha eliminado.
El volumen de un cuerpo truncado se puede calcular restando al volumen de la figura completa el volumen de la parte que se ha cortado. Es decir:
Volumen pirámide/cono grande - Volumen pirámide/cono pequeño
En adelante lo notaremos como \(V_2-V_1\).
Área
El desarrollo plano de un tronco de pirámide está formado por dos bases poligonales (las bases de las pirámides que lo componen) y caras laterales con forma de trapecios. Para calcular su área bastará sumar el área de todas sus caras.
En el tronco de cono, el desarrollo plano es diferente. Al desplegar la superficie lateral aparece una corona circular, además de las dos bases que son círculos.
El área lateral se calcula como el área del sector circular grande menos el área del sector pequeño, ambos con el mismo ángulo
\[\alpha=\dfrac{360º(r_B-r_b)}{g}\]
La fórmula del área lateral es
\[A_{\text{lateral}}=\pi(r_B+r_b)g\]
