Operación anticolisión en trayectorias rectas
Los sistemas de navegación detectan varios asteroides cerca de la ruta de regreso programada a la Tierra.
Aunque la mayoría no son peligrosos, uno podría chocar con la nave espacial si no se corrige a tiempo su trayectoria.
Para que el viaje de regreso sea exitoso, será necesario calcular las rutas en línea recta de la nave y del asteroide.
Tendréis que trazar ambas líneas en una cuadrícula, resolver el sistema que las describe o incluso cambiar la pendiente del camino para prevenir un choque, dependiendo del nivel que seleccionéis.
El propósito es determinar, con exactitud matemática, si las trayectorias se cruzan o no y, de ser así, qué ajustes son precisos para seguir la misión sin riesgo.
Antes de efectuar estos cálculos, tendréis que asimilar estas nociones.
Lectura facilitada
Durante el viaje de regreso a la Tierra, los sistemas detectan asteroides cerca de la nave.
Tendréis que calcular las trayectorias y, si hace falta, cambiar el camino para evitar choques.
El objetivo es saber si se cruzan y qué ajustes hacer para continuar la misión con seguridad.
Sistema de ecuaciones
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se expresa de esta forma: \(\left\{ \begin{array} \\ ax+by=c \\ dx+ey=f \end{array}\right.\)
Los coeficientes, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), y \(f\) son números reales.
Solución del sistema
¿Cuándo tiene solución un sistema de ecuaciones?
Un par de números (\(x\), \(y\)) es solución de un sistema de ecuaciones si, al sustituirlos en lugar de las incógnitas, hacen que se cumplan simultáneamente.
Por ejemplo: \((x=3, y=2)\) es solución del sistema \(\left\{ \begin{array} \\ x+y=5 \\ x-y=1 \end{array}\right.\)
- En la primera ecuación: \(3 + 2 = 5\) \(\checkmark\)
- En la segunda ecuación: \(3 - 2 = 1\) \(\checkmark\)
Clasificación a partir de su solución
Al resolver un sistema de ecuaciones pueden ocurrir dos cosas: que tenga solución (sistema compatible, SC) o que no (incompatible SI).
Además, cuando tiene solución, esta puede ser única (SCD), o puede tener infinitas soluciones (SCI).
A continuación, visualizarás los tipos de soluciones a partir de las gráficas de las rectas que representan a cada ecuación.
Compatible determinado (SCD)
Las dos rectas se cortan en un único punto, la solución.
Observa que sus pendientes son distintas.
Por ejemplo: \(\left\{ \begin{array} \\ x+y=4 \\ x-y=2 \end{array}\right.\)
Compatible indeterminado (SCI)
Las dos rectas coinciden.
El sistema tiene infinitas soluciones: todos los puntos de ambas rectas.
Observa que las ecuaciones son proporcionales y, por ello, tienen la misma pendiente.
Por ejemplo: \(\left\{ \begin{array} \\ x+y=3 \\ 2x+2y=6 \end{array}\right.\)
Incompatible (SI)
El sistema no tiene solución, ya que no hay ningún punto en común.
Las rectas son paralelas y, por ello, sus pendientes son iguales; pero son distintas, no coinciden los términos independientes.
Por ejemplo: \(\left\{ \begin{array} \\ x+y=2 \\ x+y=5 \end{array}\right.\)
Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones
Hay cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Vas a conocerlos a través de un ejemplo.
Resuelve: \(\left\{ \begin{array} \\ x+y=5\\ x-y=1 \end{array} \right.\)
Método de sustitución
Este método se suele utilizar cuando una ecuación tiene una incógnita "casi despejada".
Consiste en:
- Despejar una incógnita (la que quieras) en una de las dos ecuaciones. Por ejemplo, la incógnita x en la primera ecuación \(x+y=5 \Rightarrow x=5-y\)
- Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación y resolver la ecuación resultante. En la segunda ecuación: \((5-y)-y=1 \Rightarrow 5-2y=1 \Rightarrow -2y=-4 \Rightarrow y=2\)
- Sustituir el valor obtenido en la expresión del paso 1 para calcular la otra incógnita. \(x\): \(x=5-y \Rightarrow x=5-2 \Rightarrow x=3\). Solución: (3,2)
Método de igualación
Este método se suele utilizar cuando es fácil despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. Consiste en:
- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Despeja, por ejemplo, \(x\): \(\left\{ \begin{array} \\ x+y=5 \Rightarrow x=5-y \\ x-y=1 \Rightarrow x=1+y \end{array} \right.\)
- Igualar ambas expresiones y resolver la ecuación resultante. \(5-y=1+y \Rightarrow 5-1=2y \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2\)
- Sustituir el valor obtenido en una de las ecuaciones para calcular la otra incógnita. Calcúlalo, por ejemplo, en la primera ecuación: \(x=5-y \Rightarrow x=5-2 \Rightarrow x=3\). Solución: (3,2)
Observa que, el paso (3) puede cambiarse, y repetir los pasos (1) y (2) con la otra incógnita.
Método de reducción
Este método se suele utilizar cuando los coeficientes permiten cancelar una incógnita rápidamente. Consiste en:
- Multiplicar una ecuación (o las dos), por un número distinto de cero, para que los coeficientes de una incógnita se cancelen. En este ejemplo no es necesario.
- Sumar o restar las ecuaciones para eliminar esa incógnita y resolver la ecuación resultante. Si sumas ambas ecuaciones: \(2x=6 \Rightarrow x=3 \)
- Sustituir el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales para calcular la otra incógnita. Por ejemplo, en la primera ecuación: \(3-y=1 \Rightarrow -y=1-3 \Rightarrow -y=-2 \Rightarrow y=2\). Solución: (3,2)
Observa que el paso (3) puede cambiarse y repetir los pasos (1) y (2) con la otra incógnita.
Método gráfico
Este método se usa cuando el punto de corte toma valores enteros o decimales con pocas cifras, para no perder exactitud. Consiste en:
- Representar ambas rectas en un mismo plano cartesiano.
- Estudiar si sus gráficas se cortan o no.
- En caso afirmativo, la solución es el punto/puntos donde se cortan ambas rectas.
A continuación, para realizar la misión anticolisión deberás dibujar las trayectorias y resolver un sistema de ecuaciones.